2014西安市五大名校小升初奥数几何典型题汇集
知识点拨
：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 一、等积模型
AB①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
SS两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b abCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
12S△ACD?S△BCD；
反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
ADDEAE
图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
BCDBCAS2BS1OS3S4C蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： aAD22①S1:S3?a:b S1S2S4②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； O2③S的对应份数为?a?b?． S3
BbC四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDBFGEC
BGC
①
ADAEDEAF； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么
AS?ABO:S?ACO?BD:DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定
E理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，F它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中
O的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
BCD
典型例题
【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，长方形EFGH的面积为 ． CF?2．AE?1.5，
_H _D_H _D_A_E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积
为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
_ E_ A_ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
_ D
_ C
_ A_ E_ B
_ G
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形
可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在
11S?S?ABCD(三角形面积等于与正方形ABCD中，S△ABG??AB?AB边上的高，∴△ABG221S?SEFGB． 它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，△ABG2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．
【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
AHDEG
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：
FCBAHDEGB111?SS?S?DHC?HS?B、AS?FHB、?CHB?DHGHB222SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36
11 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；
22S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF 而 得
：
FC
S?E，而
，
11111S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5所以阴影部分的面积是：
22228S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5
解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，
那么图形就可变成右图：
AD(H)EG
这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5．
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另
一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．
FCADA(P)DADBPPCC B B
【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点
与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别
BC111646（法2）连接PA、PC．
由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴
1影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角
4111形的面积之和等于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积为62?(?)?15646占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米．
14平方厘米．
【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四
边形EFGO的面积为 ．
ADOEBFGC
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之
和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．
由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为120??30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120??70?20；
3414?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120??????30，所以四边形24??11EFGO的面积为30?20?10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120?70?50，所以四边形的面积为60?50?10．
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分
的面积为 ．
AOBC EDAMOBENDC【解析】 如图，连接OE．根据蝶形定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?1S?CAE:S?CDE?1:1，所2
以
S?OEN?S?O11S?OED；OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以22111?SS??S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影．又EM?O?EOEDA5341215部分面积为：3??6??2.7．
【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、
乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)
A甲乙IJMBNH丙EDFC【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，
也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有
S?ABC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN400?S丙? 200?200?SAMHN，所以
14【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左
边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．
S丙?SAMHN．又S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143??400?43．
AACDBEFGCDBEFG【解析】 连接AF，BD．根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28；
所以，S?BEF?
15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 272827287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．
【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，
S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．
AADEDEBCBC【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，
S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE△
4)?:(，7设
:SABC?(?2S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份
就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的
面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
ADECDAEC B【解析】 连接BE．∵EC?3AE ∴S?ABC?3S?ABE又∵AB?5AD
∴S?ADE?S?ABE?5?S?ABC?15，∴S?ABC?15S?ADE?15．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
BAEB甲EA乙CB甲乙CDD
【解析】 连接AD．∵BE?3，AE?6∴AB?3BE，S?ABD?3S?BDE
又∵BD?DC?4，∴S?ABC?2S?ABD，∴S?ABC?6S?BDE，S乙?5S甲．
【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，
AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．
DDAAEBCE
【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)
S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，
所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△E则S△ABC?25份，?6份，S△ADE?12DA平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四
边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
H
BCHAGDFBCEAGDFBCE
【解析】 连接AC、BD．根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补， ∴
S△ABCAB?BC1?11???．又S△ABC?1，所以S△FBE?3．同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△FBEBE?BF1?33S△AEH?8．所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．
S21所以ABCD??．
SEFGH3618【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
C1312O131213D13
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我
们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作
正方形ACDE，中心为O，求?OBC的面积．
E1212ABEOA3B5CDOA3B5CD
【解析】 如图，将?OAB沿着O点顺时针旋转90?，到达?OCF的位置．
由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB， 所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．
由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为
5?3?8，所以它的面积为82?5． 16??1081?16．根据面积比例模型，?OBC的面积为4F
【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，?AEB?90?，AC、
BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．
CBCBOEDAOEFA D
【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．
那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，所以梯形AFBE的面积为：
?3?5??3?1?12(cm2)．又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，2AB?AE?BE?3?5?34，所以S?ABD?22222那么S?BDE?S?ABD??S?ABE所以S?OBE?
1AB2?17(cm2)． 2?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，
1S?BDE?2.5(cm2)． 2【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，
对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18AF平行于CD，BC平行于EF，
厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
BACGABCFEDFED
【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重合，这
样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，
AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．
AAAEBDFCB33EF312CDEFBDC【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，
S△ABFS△ACF SAEBD1?1, ??，△ABF?S△CBFECDC2
设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如
55S?S?图所标，所以DCEF △ABC121211S?S?方法二：连接DE，由题目条件可得到△ABD， △ABC331121BFS△ABD1??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以
FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，
223232122115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．
32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部
分的面积是多少平方厘米?
AAFBGDECABBD1DFE323xF3yEGxyCCG
【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?平方厘1212米.
【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等
1于三角形BCD的面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的
3_________倍．
AOBCBDAHODG 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处
理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S?ABD:S?BCD?1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．
解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1． 解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．
111S?S?DOC， ∵S?ABD?S?BCD，∴AH?CG，∴?AOD333∴AO?CO，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？
13CA2B1G3DC【解析】 ⑴根据蝶形定理，S?BGC
?1?2?3，那么S?BGC?6；
⑵根据蝶形定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的
面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．
AOGDFC
【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的面积都
是16?2?8，所以△OCF的面积为8?4?4；
⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2， 蝶形定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2，那么S?GCE?BE112S?CEF??2?． 1?233
【例 16】 如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平
方厘米，求长方形ABCD的面积．
AGDFCAGDFCB
【解析】 连接AE，FE．因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以
31111S?DEF?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCDS?AED?S长方形ABCD，
532102AG:GF?11:?5:1，所以S?AGD210EBE?5S?GDF?10平方厘米，所以S?AFD?12平方
1S?S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米． 厘米．因为?AFD6
【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分
的面积．
BCGAD
【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝶形定理可以知道
?1份，则S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，设S△AGMMS△MCD?1?2? 3份，所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，S阴影?2?2?4份，所以S阴影:S正方形?1:3，所以S阴影?1平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．
ADFBEC
2?（1?2）?9(平方
【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝶形定理得S梯形厘米)，S△ECD?3(平方厘米)，那么S?ABCD?12(平方厘米)．
【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则
阴影部分的面积是 平方厘米．
AODAODBCEBCE【解析】 连接AC．
由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，
根据梯形蝶形定理，S?COE:S?AOC:S?DOE:S?AOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以
S?AOC?6(平方厘米)，S?AOD?9(平方厘米)，又S?ABC?S?ACD?6?9?15(平方厘米)，阴影部分面积为6?15?21(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：
平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A9214BEDA921CBO4ED
【分析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
根据蝶形定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD?36， 所以S?OCD?6(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：
平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A8162BECBE16DA8O2CD2C
【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
2根据蝶形定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?16，故S?OCD?16，所以S?OCD?4(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?S?ABED???16?8??12(平方厘米)， 所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，
根据蝶形定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．
【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8
平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．
AE25O8DCD1212F?BAE25O8F?B
【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?S?FOC，又根据蝶形定理，
S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米)．
【例 20】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已
C知正方形DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？
DKBEFCBEAGDKAG
【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC111?，那么?BDK的面积也是?ABC面积的．由于?ABC是等腰直角三1?344角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与
1正方形DEFG的面积相等，为48．那么?BDK的面积为48??12．
4【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，
CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分m数，那么，(m?n)的值等于 ． nMFC面积的
AHDAHDEGEGCF B
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个
图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．
BFC左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的，所以三角形
111又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图AMD的面积为12???．
24811中阴影部分的面积为1??4?．
82AHDAHD14MEGENG
如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．
可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的，所以
111113248288在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：
BFCBFC14三角形BEF 的面积为12???，梯形AEFC的面积为??．
311，那么四边12:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为??81?2?2?424111形BENF的面积为??．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右
824611图中阴影部分的面积为1??4?．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分
6311m3面积之比为:?3:2，即?，那么m?n?3?2?5．
23n2
【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC
【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，
所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9， 因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，
进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5
【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．
ADBE
【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10
【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD?DF?FM?MP?PB，则 AS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB? ． DE【解析】 设
CS△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此
S△AFG?4份，进而有S四边形DEG?F3份，同理有
BFMGNQCPS四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．
所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9
【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且
DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG
ABABABGFGFGF
【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有
AB:CM?BF:FC?1:1，因此CM?4，根据题意有CE?3，再根据另一个沙漏有
ECDECDECMDGB:GE?AB:EM?4:7，所以S△ABG?4432S△ABE??(4?4?2)?． 4?71111，分别求S△ABF?4?2?2?4，
S△AEF?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7，据蝶形定理S△ABF:S△AEF?BG:GE?4:7，
4432S?S??(4?4?2)?所以△ABG． △ABE4?71111法
二
：
连
接
AE,EF
【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M，求?BMG的面积．
AEBFHMGCBDIAFHD
EM
GC【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而
FD:BC?F:H?HC1:，2EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3，
并得G、H是BD的三等分点，所以BG?GH，所以BG:EF?BM:MF?2:3，所
2以BM?BF，S?BFD5?1111S?ABD??S?ABCD?； 22241212111S???S????又因为BG?BD，所以?BMG． ?BFD35354303 解法二：延长CE交DA于I，如右图，
可得，AI:BC?AE:EB?1:1，从而可以确定M的点的位置，
21 BM:MF?BC:IF?2:3，BM?BF，BG?BD(鸟头定理)，
53 可得S?BMG??S?BDF???S?ABCD?
21532115341 30【例 25】 如图，ABCD为正方形，AM?NB?DE?FC?1cm且MN?2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？
DERSPAMNBQSPFCDERFCQ
AMNB
【解析】 (法1)由AB//CD，有
MQMBMPPC，所以PC?2PM，又，所以 ??QCECMNDC11111MQ?QC?MC，所以PQ?MC?MC?MC，所以SSPQR占SAMCF的，
2236612所以SSPQR??1?(1?1?2)?(cm2)．
631(法2)如图，连结AE，则S?ABE??4?4?8(cm2)，
2RBERRBAB2216而，所以???2，S?ABR?S?ABE??8?(cm2)． ABEFEFEF33311MNMP而S?MBQ?S?ANS??3?4??3(cm2)，因为， ?22DCPC1114所以MP?MC，则S?MNP??2?4??(cm2)，阴影部分面积等于
32331642S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP??3?3??(cm2)．
333
【例 26】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27
S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解
题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.
AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.
AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解
题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积
是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHBGIDCFHGIDCAE【分析】 连接AH、BI、CG．
222AC，故S?ABE?S?ABC?；根据燕尾定理，555S?ACG:S?AB?:B?D2:，3S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2，所以 GCD49S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9，则S?ACG?，S?BCG?；
191922489那么S?AG?ES??A?GC；同样分析可得S?ACH?，则?55199519，HEG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19，所以EG:GH:HB?4:5:10，EG:?E?HS?ASC4AC:?G5521同样分析可得AG:GI:ID?10:5:4，所以S?BI?ES??BA?E?，
1010555511S?GHI?S?BIE???．
1919519
B
由于CE:AE?3:2，所以AE?
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积
是1，求三角形ABC的面积．
AAFIBHGDEFICHGDEBC【解析】 连接BG，S△AGC?6份
根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4，S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6
得S△BGC?4(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC?19(份)，因此同理连接AI、CH得
S△AGC6?, S△ABC19S△ABHS6S619?6?6?61?,△BIC?,所以△GHI?? S△ABC19S△ABC19S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角
形面积的 倍．
ADGFHBEICADGFHIC【分析】 如图，连接AI．
根据燕尾定理，S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1，S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2，
22所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI?S?ABC?S?ABC．
1?2?472同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的，所以阴影三角形的面积
721等于?ABC面积的1??3?，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．
77
BE
【巩固】如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCAEHFIBGDC【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理
S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得S△AGC?2(份)，S2S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分
成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连
接CP，CQ，CM，CN． 根据燕尾定理，S△ABP:S:G?C1:，2S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设△C?BPAGS△ABP?1(份)，则S△ABC?1?2??2DEC(5份)，所以S△ABP?S△ABQ?211213,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG7237535311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE????,S四边形GFNQ???? S四边形MNED????33570423214263216421同理可得，5121???． 3721
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三
等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？
CFGKAIHBJDECFGKIHBAJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，
1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．
1?2?473212类似分析可得S?AGI?．又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，
1511117可得S?ACJ?．那么，SCGKJ???．根据对称性，可知四边形CEHJ的面积
42184417也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
84172161619，所以四边形JKIH的面积为1??． SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2???84153707070
【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
AGAGNMBDEFNMBCDEFC【解析】 连接CM、CN．根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，
1S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；再根据燕尾定理，
5S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以
S142?，所以AN:NF?4:3，那么△ANG??S△AFC24?3751515?2?SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?S△ABC．根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可
7428528?7?得S△ABC?336(平方厘米)
【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三
等分点,求阴影部分面积.
ADEIHADEQCNMIHP 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，
S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?所以S四边形ADMI14111?(?)S△ABC?S△ABC, 121261311S△ABC,S△AIM?S△ABC, 1212BFGBFGC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的 ⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2
161?111?11S△ABC S△ABP?S△ABC，所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?521211055??同理另外两个五边形面积是△ABC面积的
1111113，所以S阴影?1??3? ?3?610570105【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三
等分点,求中心六边形面积.
ADEIHADEQCNRIPHBFGBMFSGC【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1,
222S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC
77722211所以S△RQS?1????，同理S△MNP?根据容斥原理，和上题结果
7777711131 S六边形????777010
课后练习：
练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．
AFDBEC【解析】 S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，
S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8
S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，
恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，
求四边形ABCD的面积．
HDAECBGHDFCBGA【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即S△CGF?2S△CDB
EF
同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD
S?SD)?四边形2DSB所以S△AH?ES△C?G2F(△C△BAAS△DH??E2F四边形SABC DGS△BBCD连接AC，同理可以得到
S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形
BGHF的面积是 平方厘米．
ADADEGHFBCEGHF M
【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积．
BC由题意可得到：EG:GC?EB:CD?1:2，所以可得：S?EBG?S?BCE 将AB、DF延长交于M点，可得：
BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1，
而EH:HC?EM:CD?(AB?AB):CD?3:2，得CH?CE，
11212255111 S?BCE??AB?BC??120?30
2241177 S四边形BGHF?S?EBC?S?EBC?S?EBC?S?EBC??30?14．
351515 本题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样
122513而CF?BC，所以S?CHF??S?BCE?S?BCE
也能解出．
练习4. 如图，已知AB?AE?4cm，BC?DC，?BAE??BCD?90?，AC?10cm，则
S?ABC?S?ACE?S?CDE? cm2．
CBCBAEDA'AEDC'
【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90?，构成三角形AEC'和
A'DC，再连接A'C'，显然AC?AC'，AC?A'C，AC?A'C?AC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系：S?AEC?S?A'DC'；S?AEC'?S?A'DC；S?CED?S?C'DE．
所以S?ABC?S?ACE?S?CDE?S?AEC'?S?ACE?S?CDE?S?ACA'C'??10?10?50cm2．
练习5. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四
边形BGHF 的面积是_____平方厘米．
1212ADADEGHEGH
【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD?1:2,设S△BHC?1份，根据燕尾定理S△CHD?2份，
份，SB（1?2?2)?2?S△BHD?2份，因此S正方形?SBFFBFCBFC?H127?，所以G?236??H1G2071?06(平方厘米). ?14
练习6. 如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若?ABC的
面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．
ADNADNBEMM
【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、
MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而
S?ACM?2S?ADM，所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那么BM?4DM，即BM?FCBEFC4BD． 5BMBF4214147． ??S?BCD????，S四边形CDMF???BDBC53215215301111另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?S?ABD???，
55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???．
31030那么S?BMF?
练习7. 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是
74，求角形GHI 的面积．
AAFIBHGDEFICHGDEBC【解析】 连接BG，S△AGC?12份根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?4:3?12:9，
S△ABG:S△AGC?BD:DC?4:3?16:12得S△BGC?9(份)，S△ABG?16(份)，则
S12,同理连接AI、CH得S△ABC?9?1?2?16(份)，因此△AGC?S△ABC37
S△ABH12S△BIC12S37?12?12?121,,所以△GHI? ???S△ABC37S△ABC37S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74?
月测备选
1?2 37【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已
知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．
甲234乙6甲234乙6
【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两
个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：3?4?6?2? （3?6?2?4?2?2）?11（cm2）
【备选2】 如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方
厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
DMOABPNC
【解析】 因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO面
积为矩形ABCD的面积的，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的面积之和是18?9?3?6平方厘米．
又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18?6?12(平方厘米)．
【备选3】 如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？
AA11E24.5D1C14EO9O213.5【解析】 连接CO,设S△AEO
?1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC?1?2?9?18?3012?4.5139313.59 ,?,?,?30306030103020BDCB3份，所以四部分按从小到大各占△ABC面积的
1【备选4】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?BC，
2F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
AFBDCE
【解析】 ∵在△ABC和△CFE中，?ACB与?FCE互补，
∴
S△ABCAC?BC2?24???．又S?ABC?2，所以S?FCE?0.5．同理可得S△ADF?2，S△FCEFC?CE1?11S△BDE?3．所以S△DEF?S△ABC?S△CEF?S△DEB?S△ADF?2?0.5?3?2?3.5
【备选5】 如图，BD:DC?2:3,AE:CE?5:3,则AF:BF?
AECFBDG【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG?2:3?10:15,S△ABG:S△BCG?5:3?10:6,所以
S△ACG:S△BCG?15:6?5:2?AF:BF
【备选6】 如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDCBFIGDCHAE【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理
S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:1,得S△AGC?3(份)，S3S△ABG?9(份),则S△ABC?13(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC13S△ABHS3?13,△BIC?, S△ABCS△ABC13所以
S△GHI13?3?3?34?? S△ABC1313