[探究问题]

1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？

[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．

2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？

[提示] 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．

【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． [证明] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角， 2

设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2. (2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)， 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1， ∴BB1⊥A1C1， 又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

11

在Rt△A1BO中，A1O＝2A1C1＝2A1B， ∴∠A1BO＝30°，

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D

所成角的正切值．

[解] 连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，

∴EO1⊥平面BB1D1D，

∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影， ∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为a， ∵E是AB的中点，EO1∥AC， ∴O1是BO的中点，

112a2a

∴EO1＝2AO＝2×2＝4， B1O1＝2

BO21＋BB1＝

3a?2a?2

??＋a2＝， ?4?22

2a4EO11

∴tan∠EB1O1＝BO＝3a＝3.

11

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求斜线与平面所成角的步骤：

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

1．线线垂直和线面垂直的相互转化：

2．证明线面垂直的方法： (1)线面垂直的定义． (2)线面垂直的判定定理．

(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )

A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

A [若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]

2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) A．垂直 C．平行

B．相交但不垂直 D．不确定

A [因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )

A．60° B．45° C．30° D．120°

A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，1

所以cos∠ABO＝2，即∠ABO＝60°. 故选A.]

4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明] 如图，连接AC，

∴AC⊥BD，

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A， AC，A1A?平面A1AC， ∴BD⊥平面A1AC， ∵A1C?平面A1AC， ∴BD⊥A1C. 同理可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，