2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

学 习 目 标 1.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点) 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 核 心 素 养 1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.

1．直线与平面垂直 定义 记法 有关如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 l⊥α 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的概念 公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面语言 垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 斜线 斜足 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜线和平面的交点，图中点A 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和射影 斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO 直线与平面所定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平 对应图形 成的角 面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A．平面OAB C．平面OBC

B．平面OAC D．平面ABC

C [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]

2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )

A．平行 C．相交不垂直

B．垂直 D．不确定

B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而

垂直第三边．]

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．

45° [如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，

B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]

【例1】 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

直线与平面垂直的判定

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. [证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC， 所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

证线面垂直的方法： (1)线线垂直证明线面垂直：

①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．

(2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α?b⊥α； ②α∥β，a⊥α?a⊥β.

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.

求证：AN⊥平面PBM.

[证明] 设圆O所在的平面为α， ∵PA⊥α，且BM?α， ∴PA⊥BM.

又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点， ∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM， ∴BM⊥AN.

∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直． 故AN⊥平面PBM.

直线与平面所成的角