C. D.

[总结反思] 求与长度(角度)有关的几何概型概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度、角度).

式题 (1)事件“在正方形ABCD的边CD上随机选取一点P,使∠ABP为三角形APB中最大的角”发生的概率为 ( )

A. B.

C. D.

(2)[2017·宁德质检] 若在区间[0,e]内随机取一个数x,则代表数x的点到区间两端点的距

离均不小于的概率为 ( )

A. B.

C. D.

探究点三 与体积有关的几何概型

3 有一个底面半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 .

[总结反思] 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算总体积(总空间)以及事件的体积(空间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求解.

式题 在棱长为3的正方体ABCD - A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到正方体各顶点的距离都大于1的概率为 . 探究点四 与面积有关的几何概型

考向1 与三角形﹑矩形﹑圆等平面图形面积有关的问题

4 [2017·锦州质检] 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股之弦为边的正方形,其面积称为弦实.

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图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄

2222

实,利用2×勾×股+(股-勾)=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾+股=弦.设勾股形中勾、股之比为1∶数大约为

,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗( )

A.134 B.866 C.300 D.500

图9-59-4

[总结反思] 求与面积有关的几何概型概率的方法: (1)确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;

(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解. 考向2 与线性规划交汇命题的问题

5 设点(a,b)在不等式组表示的平面区域内,则函数f(x)=ax-2bx+3在区间

2

,+∞上是增函数的概率为 ( )

A. B.

C. D.

[总结反思] 与线性规划交汇问题的处理方法:

(1)根据线性规划的知识求出可行域,确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型; (2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解. 考向3 与定积分计算交汇命题的问题 6 如图9-59-5,

26

图9-59-5

在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆,落在阴影部分的概率是 ( )

A. B.

C. D.

[总结反思] 求解与定积分计算交汇的几何概型问题的关键是:利用积分公式求解事件对应的区域面积,注意一定要计算准确. 强化演练

1.【考向1】[2017·长沙二模] 在如图9-59-6所示的锐角三角形空地中,有一内接矩形花园(阴影部分),其一边长为x(单位:m).将一颗豆子随机地扔到该空地内,用A表示事件“豆子落在矩形花园内”,则P(A)的最大值为 ( )

A. B.

C. D.

图9-59-6

2.【考向1】在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在矩形ABCD内随机取一点,则取到的点到点O的距离大于1的概率为 ( )

A. B.1-

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C. D.1-

3.【考向2】已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},Γ={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω内随机投一点P,则点P落入区域Γ内的概率是 ( )

A. B.

C. D.

4.【考向3】[2017·成都三诊] 已知A={(x,y)|x+y≤π},B是曲线y=sin x与x轴围成的封闭区域.若向区域A内随机投入一点M,则点M落入区域B内的概率为 ( )

2

2

2

A. B.

C. D.

5.【考向1】在区间[0,2]内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间[0,2]内的概率为 ( )

A. B.

C. D.

第60讲 离散型随机变量及其分布列

课前双击巩固

1.离散型随机变量

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