③气象台的专家中,有85%的专家认为会降水,另外15%的专家认为不降水; ④明天该地区降水的可能性为85%.

2.[教材改编] 抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为 .

3.[教材改编] 从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.若每次取后放回,连续取两次,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为 .

4.[教材改编] 中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的

概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 5.[教材改编] 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器算出0~9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281

据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 . 题组二 常错题

◆索引:求基本事件时出错;确定对立事件时出错;互斥事件判定出错.

6.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为 ;甲赢的概率为 .

7.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 .

课堂考点探究

探究点一 随机事件的频率与概率 1 (1)下列说法正确的是 ( )

A.某人打靶,射击10次,击中7次,则此人中靶的概率为0.7 B.一位同学做抛硬币试验,抛6次,一定有3次“正面朝上”

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C.某地发行福利彩票,回报率为47%,若有人花了100元钱买彩票,则一定会有47元的回报 D.发生的概率等于1的事件不一定为必然事件

(2)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:

所用的时间(天10 数) 通过公路1的频数 通过公路2的频数

假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为 ( ) A.公路1和公路2 B.公路2和公路1 C.公路2和公路2 D.公路1和公路1

[总结反思] 随机事件的频率与概率问题应注意:

(1)理解频率与概率的区别:概率可看成是频率在理论上的稳定值,频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数.

(2)理解概率的基本性质:①0≤P(A)≤1;②P(Ω)=1,P(?)=0.

式题 [2017·福州一中质检] 规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上

20 11 12 13 40 20 20 10 40 40 10 为优秀.根据以往经验,某选手投掷1次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率.用计算机产生0到9之间的随机整数,用0,1表示该次投掷未在 8 环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在 8 环以上,经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数:

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 031 257 393 527 556 488 730 113 537 989 据此估计,该选手投掷一轮,可以拿到优秀的概率为

( )

A. B.

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C. D.

探究点二 互斥事件与对立事件的概率

2 [2017·浏阳一中模拟] 公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7.为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字,整数部分3不变,那么得到的数大于3.14的概率为( )

A.B.

C.D.

[总结反思] 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:

(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.

(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求概率,即运用逆向思维(正难则反).特别是对“至多”“至少”型题目,用间接求法更简便.

式题 [2017·临汾一中月考] 现有4张卡片,正面分别标有1,2,3,4,背面完全相同.将卡片洗匀,背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽取一张,抽取后不放回,甲先抽,若二人约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是 ( )

A. B.

C. D.

探究点三 古典概型的概率

3 学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生,将“梅”“兰”“竹”“菊”四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三名学生,每名学生至少获得一幅,则甲得到名画“竹”的概率是 ( )

A. B.

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C. D.

[总结反思] 古典概型中基本事件的探求方法: (1)列举法.

(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.

(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

式题 (1)[2017·大同三模] 现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀的各1人,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1或B1仅1人被选中的概率为 ( )

A. B.

C. D.

(2)一个三位自然数abc的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a,b,c∈{4,5,6,7,8},且a,b,c互不相同,任取一个三位数abc,则它为“凹数”的概率是 ( )

A. B.

C. D.

探究点四 古典概型的交汇命题考向1 古典概型与平面向量相结合

4 设平面向量a=(m,-1),b=(2,n),其中m,n∈{-2,-1,1,2}. (1)记“使得a∥b成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率; (2)记“使得a⊥(a-2b)成立的(m,n)”为事件B,求事件B发生的概率.

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