解：由题意，P5 在P2 的正上方，推出P9 在P6 的正上方，且到P6 的距离＝21＋5＝26， 所以P9 的坐标为（－6，25）， 选B．
同类题型1.1 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]
12
＝－3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为（ ）
2A．0或2
B．0或2
C．1或－ 2
D．2 或－ 2
12
解：当1≤x＜2时，x ＝1，解得x1＝2 ，x2＝－2 ；
2
12
当x＝0，x ＝0，x＝0；
2
12
当－1≤x＜0时，x ＝－1，方程没有实数解；
2
12
当－2≤x＜－1时，x ＝－2，方程没有实数解；
212
所以方程[x]＝x 的解为0或2 ．
2
选A．
同类题型1.2 对于函数y＝x＋x，我们定义y'＝nx例如y＝x＋x，则y'＝4x＋2x． 1322
已知：y＝x＋（m﹣1）x＋mx．
3
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
1
（2）若方程y′＝m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 ．
4解：根据题意得y′＝x＋2（m﹣1）x＋m，
2
2
4
2
3
nmn﹣1
＋mxm﹣1
（m、n为常数）．
（1）∵方程x﹣2（m﹣1）x＋m＝0有两个相等实数根， ∴△＝[﹣2（m﹣1）]﹣4m＝0， 1
解得：m＝；
2
1122
（2）y′＝m﹣，即x＋2（m﹣1）x＋m＝m﹣，
44122
化简得：x＋2（m﹣1）x＋m﹣m＋＝0，
4∵方程有两个正数根， 2(m－1)＜0
1
m2－m＋＞0
4∴
2
2
22
??
， ?
1
?[－2(m－1)]－4(m－m＋)≥0?4
2
2
31解得：m≤且m≠．
42
例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两
?ax＋by＝3
次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组?
?x＋2y＝2
有正数解的概率为___．
解：①当2a－b＝0时，方程组无解；
②当2a－b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
6－2b2a－3
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝ ，y＝ ，
2a－b2a－b6－2b2a－3
∵使x、y都大于0则有x＝ ＞0，y＝ ＞0，
2a－b2a－b∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3， ∵a，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2， 这两种情况的总出现可能有3＋10＝13种； （1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）
13
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝ ．
36
同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一
2
面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y＝2x －x上的概率是（ ） 2111A． B． C． D． 3639
解：掷一次共出现6种情况，根据图形可知1，2，3所对应的数分别是1，5，4，
21
在抛物线上的点为：（1，1），只有两种情况，因此概率为：＝ ．
63
选C．
同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投
2
掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率是________．
2
解：∵二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点，
2
∴△＜0，即m －4n＜0， 2
∴m ＜4n， 列表如下： m、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 2共有36种等可能的结果，其中满足m ＜4n占17种，
172
所以二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率＝ ．
36
同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
2
90π×1
而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，
360
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，
4－π
∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．
4
选A．
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一
1
次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组
4
?x＋2≤a? 有解的概率为_________． ?1－x≤2a1
解：当a＝－1时，y＝2x＋a可化为y＝2x－1，与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，
2
－1），
111
三角形面积为××1＝ ；
224
1
当a＝1时，y＝2x＋a可化为y＝2x＋1，与x轴交点为（－ ，0），与y轴交点为（0，1），
2
111
三角形的面积为××1＝ ；
224
当a＝2时，y＝2x＋2可化为y＝2x＋2，与x轴交点为（－1，0），与y轴交点为（0，2），
1
三角形的面积为 ×2×1＝1（舍去）；
2
?x＋2≤a?x＋2≤－1?x≤－3
当a＝－1时，不等式组? 可化为? ，不等式组的解集为? ，无解；
?1－x≤2a?1－x≤－2?x≥3?x＋2≤a?x＋2≤1?x≤－1?x≤－1???当a＝1时，不等式组 可化为 ，解得 ，解集为? ，解得?1－x≤2a?1－x≤2?－x≤1?x≥－1
x＝－1．
1
使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x4
?x＋2≤a1
的不等式组? 有解的概率为P＝ ．
3?1－x≤2a
22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））?fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
2
解：∵8 ＋1＝65，∴f1 （8）＝f（8）＝6＋5＝11，
22
同理，由11 ＋1＝122得f2 （8）＝1＋2＋2＝5；由5 ＋1＝26，得f3 （8）＝2＋6＝8， 可得f4（8）＝6＋5＝11＝f1 （8），f5（8）＝f2 （8），?，
*
∴fk＋3（8）＝fk （8）对任意k∈N 成立 又∵2016＝3×672，
∴f2016（8）＝f2013（8）＝f2000（8）＝?＝f3 （8）＝8． 选C．
同类题型3.1 将1，2，3，?，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将
1
每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，
2
求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 解：①若a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a，
②若b＞a则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b