专题1 四边形的综合问题
例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．
同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．
同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）
同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ） A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE
例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不
AB62
重叠、无缝隙）．图乙中＝ ，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ，其
BC7
内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．
同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．
同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．
同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1 ；顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2 ；顺次连接四边形A2B2C2D2 各边中点，可得四边形A3B3C3D3 ；按此规律继续下去?，则四边形A2017B2017C2017D2017 的周长是______________．
例3． 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），
BC3
下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②S△CEF＝S△EAF＋S△CBE ；③AF＋BC＞CF； ④若＝ ，
CD2
则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）
同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，AD＝ 2 AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： ①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正确结论的序号是____________．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
1
①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝AE
2
其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）
同类题型3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A．
2 41 B．
41 C． 3
D．2 3
例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ 6 ，下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED； ④S△APD＋S△APB＝1＋ 6 ．⑤S正方形ABCD＝4＋ 6． 其中正确结论的序号是___________________．
同类题型4.1 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：
12
①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF ＝1；④CE＝ AF；⑤EG ＝FG﹒DG，其中正确结论的个
2
数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________． （1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）
322
在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；（5）OG﹒BD＝AE＋CF ．
4
同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _____________．
参考答案
例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．
解：如图，延长EP交BC于点F，
∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°， ∴∠EPC＝150°，
∴∠CPF＝180°－150°＝30°， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB＝PC， ∴PF⊥BC，
1122
设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF＝CP＝ b，a＋b ＝8，
22
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED＝PB＝CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP＝AP＝CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
11
∴四边形CDEP的面积＝EP×CF＝a×b＝ ab，
22
222
又∵（a－b）＝a－2ab＋b ≥0，
22
∴2ab≤a＋b ＝8， 1
∴ ab≤2， 2
即四边形PCDE面积的最大值为2．
同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．
解：∵△APE和△ABD是等边三角形，
∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB＝60°－∠DAP， 在△EAD和△PAB中 ??AE＝AP?∠EAD＝∠PAB ??AD＝AB∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴DE＝BP，
同理△DBC≌△ABP，
∴DC＝AP，
∵△APE和△BPC是等边三角形， ∴EP＝AP，BP＝CP，
∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4， ∴四边形PCDE是平行四边形，
当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．
同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
解：∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD＝AD，BE＝AB ∵AD＝BC，AB＝DC ∴FD＝BC，BE＝DC
∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE ∴∠CDF＝∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA， ∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA， ∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF， ∵BC＝AD＝AF，BE＝AE， ∴△EAF≌△EBC， ∴∠AEF＝∠BEC，
∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°， ∴∠FEC＝60°， ∵CF＝CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确； 在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误． 选B．
同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）
解：证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF， ∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确； ∵BC＝EC，CF⊥BE， ∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确； ∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB， ∵∠ECF＝∠BCF， ∴∠CFB＝∠BCF， ∴BF＝BC， ∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC， ∴PF＝PC，故④正确． 答案为①②③④．
同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ） A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA，
∴AH＝AB，同理可证BG＝AB， ∴AH＝BG，∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故C正确， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴OH＝OB，故A正确， ∵DF∥AB，
∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH，
∴DF＝DH，同理可证EC＝CG， ∵DH＝CG，
∴DF＝CE，故B正确， 无法证明AE＝AB， 选D．
例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不
AB62
重叠、无缝隙）．图乙中＝ ，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ，其
BC7
内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．
解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，
，
设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm， ∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，
7a＋4∴CN＝ ，
2
∵GH∥BC， ∴＝ ，
21
＝ ， 7a＋422
∴x＝3.5a－2?（1）； ∴
2∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ， ∴6a﹒（7a－x）÷2＝54， ∴a（7a－x）＝18?（2）； 由（1）（2），可得 a＝2，x＝5，
7a＋47×2＋4
∴CD＝6×2＝12（cm），CN＝＝＝9(cm) ，
22∴DN＝又∵DH＝
22
12＋9 ＝15（cm），
GHDGCNDC7a－x27×2－526＋() ＝7.5（cm），
2
∴HN＝15－7.5＝7.5（cm）， ∵AM∥FC， KNMN44∴＝＝＝ ， HKCM9－45
525
∴HK＝×7.5＝(cm) ，
4＋56
2550
∴该菱形的周长为：×4＝ （cm）．
63
同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．
DG＋GH＝
22
解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120° ∴AB＝AD，∠A＝60°， ∵BM＝AE， ∴AD＝ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，
∴∠MEF＋∠DEA═120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°， ∴∠MEF＝∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中， ??AD＝ME?∠MEF＝∠ADE ?DE＝EF?
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°， 又∵BM＝AE，
∴△BMF是等边三角形， ∴BF＝AE，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t， ∵BC＝4， ∴3t＝4，
4∴t＝ ．
3
同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°，
11∴FD＝MD＝ ，
22∴FM＝DM×cos30°＝
3
， 2
22
∴MC＝FM＋CF＝7 ， ∴A′C＝MC－MA′＝7 －1．
同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1 ；顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2 ；顺次连接四边形A2B2C2D2 各边中点，可得四边形A3B3C3D3 ；按此规律继续下去?，则四边形A2017B2017C2017D2017 的周长是______________．
解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点， ∴△AA1D1 是等边三角形，四边形A2B2C2D2 是菱形，
1
∴A1D1 ＝5，C1D1＝AC＝53 ，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2 ＝5，
2111
同理可得出：A3D3＝5× ，C3D3＝C1D1＝×53 ，
222
12112
A5D5＝5×（） ，C5D5＝C3D3＝（）×53 ，
222
?
5＋53
∴四边形A2015B2015C2015D2015 的周长是： ．
10072
例3． 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），
BC3
下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②S△CEF＝S△EAF＋S△CBE ；③AF＋BC＞CF； ④若＝ ，
CD2
则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）
解：延长CB，FE交于点G，
∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE，①正确； 在△AEF和△BEG中， ??∠FAE＝∠GBE＝90°
， ?AE＝BE??∠AEF＝∠BEG∴△AEF≌△BEG（ASA）， ∴AF＝BG，EF＝EG， ∵CE⊥EG，
∴S△CEG＝S△CEF ，CG＝CF，
∴S△CEF＝S△EAF＋S△CBE ，②正确； ∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③错误；
BC3
，
CD2
∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°， 在△CEF和△CDF中， ??∠D＝∠FEC＝90°
， ?∠DCF＝∠ECF?CF＝CF?
∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．
∵＝
同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，AD＝ 2 AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正确结论的序号是____________．
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=2 AB， ∵AD=2 AB， ∴AE＝AD，
?在△ABE和△AHD中，?∠BAE＝∠DAE
?∠ABE＝∠AHD＝90°，
??AE＝AD
∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝1
2
（180°－45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵∠AHB=1
2
（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH，
∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DOH＝∠ODH， ∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；
∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°
??∠EBH＝∠OHD
在△BEH和△HDF中?BE＝DH
??
∠AEB＝∠HDF
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF， ∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④⑤．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
1
①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝AE
2
其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）
解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2AB＝2 CD， ∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AD＝2 AB， ∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝2 CD， ∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠AEB， ∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE， 故①正确； 设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝2 ， ∴HE＝2 ，
∴22HE＝22≠1， 故②错误；
∵∠AEH＝67.5°， ∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°， ∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°， ∴∠OAH＝∠OHA， ∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°， ∴OH＝OE，
1
∴OH＝ AE，
2故④正确；
∵AH＝DH，CD＝CE， 在△AFH与△CHE中， ??∠AHF＝∠HCE＝22.5°
?∠FAH＝∠HEC＝45°，
?AH＝CE?
∴△AFH≌△CHE， ∴∠AHF＝∠HCE， ∵AO＝OH，
∴∠HAO＝∠AHO，
∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90°， ∴△AEH∽△CFB，故③正确． 答案为：①③④．
同类题型3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
2112A． B． C． D．
4433
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点，
11
∴BE＝BC＝ AD，
22
∴△BEF∽△DAF， EFBE1∴＝＝ ， AFAD2
1
∴EF＝ AF，
21
∴EF＝ AE，
3
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE＝DE，
1
∴EF＝ DE，设EF＝x，则DE＝3x，
3∴DF＝
DE－EF＝22 x，
EFx2
∴tan∠BDE＝＝＝ ；
DF22x4
22
选A．
例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ 6 ，下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED； ④S△APD＋S△APB＝1＋ 6 ．⑤S正方形ABCD＝4＋ 6． 其中正确结论的序号是___________________．
解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ??AE＝AP
?∠EAB＝∠PAD，
??AB＝AD
∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
22
又∵BE＝BP－PE ＝2， ∴BF＝EF＝2 ， 故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1， ∴EP＝2 ， 又∵PB＝6 ， ∴BE＝2，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝2，
1111
∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP＝ S正方形ABCD－×DP×BE＝×（4＋6）－×2
22226
． 2
故此选项不正确．
⑤∵EF＝BF＝2 ，AE＝1，
222
∴在Rt△ABF中，AB＝（AE＋EF）＋BF＝5＋22 ，
2
∴S正方形ABCD＝AB＝5＋22， 故此选项不正确． 答案为：①②③．
同类题型4.1 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444×2＝
解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
2
90π×1
而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，
360
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，
4－π
∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．
4
选：A．
同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：
12
①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF ＝1；④CE＝ AF；⑤EG ＝FG﹒DG，其中正确结论的个
2
数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°， ∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°， ∵BH＝DF，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°， ∴∠HAC＝∠FAC， ∴HM＝FM，AC⊥FH， ∵AE平分∠DAC， ∴DF＝FM，
∴FH＝2DF＝2BH， 故选项①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°， ∴△FMC是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为2，
∴AC＝22 ，MC＝DF＝22 －2，
∴FC＝2－DF＝2－（22－2）＝4－22 ，
1
S△AFC＝ CF﹒AD≠1，
2
所以选项③不正确；
2222
④AF＝AD＋DF＝2＋(22－2)＝24－22 ， ∵△ADF∽△CEF， ∴＝ ， 224－22∴＝ ， CE4－22
∴CE＝4－22 ，
1
∴CE＝ AF，
2
故选项④正确；
⑤延长CE和AD交于N，如图2，
ADAFCEFC
∵AE⊥CE，AE平分∠CAD， ∴CE＝EN， ∵EG∥DN， ∴CG＝DG，
在Rt△FEC中，EG⊥FC，
2
∴EG ＝FG﹒CG，
2
∴EG ＝FG﹒DG， 故选项⑤正确；
本题正确的结论有4个， 故选C．
同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________． （1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）
322
在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；（5）OG﹒BD＝AE＋CF ．
4
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠BOF＋∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＋∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ??∠BOE＝∠COF， ?OB＝OC??∠OBE＝∠OCF∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，BE＝CF， ∴EF＝2 OE；故正确；
1
（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOE＝S△BOE＋S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，
4
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；故正确；
（3）∴BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝2 OA；故正确； （4）过点O作OH⊥BC， ∵BC＝1，
11∴OH＝BC＝ ，
22
设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x， ∴
111111129
S△BEF＋S△COF＝BE﹒BF＋CF﹒OH＝x（1－x）＋（1－x）×＝－（x－）＋ ，
222222432
1
∵a＝－ ＜0，
21
∴当x＝ 时，S△BEF＋S△COF 最大；
4
1
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；故错误；
4
（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB＝OG：OE，
2
∴OG﹒OB＝OE ，
12
∵OB＝ BD，OE＝ EF，
22
2
∴OG﹒BD＝EF ，
222
∵在△BEF中，EF＝BE＋BF ，
222∴EF＝AE＋CF ，
22
∴OG﹒BD＝AE＋CF ．故正确． 故答案为：（1），（2），（3），（5）．
同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _____________．
解：如图，
设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS， ∵E为MN的中点，S为KH的中点， ∴A，E，S共线，
F为QR的中点，S为KH的中点， ∴B、F、S共线，
由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB， ∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP， ∴PE∥FS，
则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点， ∴G的轨迹为△CSD的中位线， ∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，
1
∴点G移动的路径长 ×4＝2．
2
专题07 圆的综合问题
例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（ ） A．2 B．5 C．3 ＋1 D．2 2
同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
2
①若AD＝5，BD＝2，则DE＝ ；
5
②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB；
41
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cosF＝ ；
48
则正确的结论是（ ） A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④
同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF ：S圆＝3 3：4π， 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．
同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB1
于点M，OM＝ ，则sin∠CBD的值等于（ ）
3A．
3 2
1 B．
3
2 2 C．
3
1 D．
2
同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．
同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
例3． 如图，直线l1∥l2 ，⊙O与l1 和l2 分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1 和l2 上的动点，MN沿l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ） 4 3A．MN＝
3
B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1 和l2 的距离为2
同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．
同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12
同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为
ab 的是（ ） a＋bA． B． C． D． 例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则 的值为______________．
EFGH
同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________．
同类题型4.2 如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
23
A．DE的长 B．BC的长 C． DE的长 D． DE的长
32
例5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE＝7 2 ．下
12
列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF ＝PB﹒PA；③若BC＝ OP，则阴影部分的面积为
2
7493π－ 3 ；④若PC＝24，则tan∠PCB＝ ．其中正确的是（ ） 444A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
同类题型5.1 如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．
同类题型5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．
同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ） 2ππ2π2πA． B．2 3－ C．2 3－ D．4 3－
3333
同类题型5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1 和半圆O2 ，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且
⌒⌒EF＝2（EF与AB在圆心O1 和O2 的同侧），则由AE ，EF，FB ，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．
参考答案
例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（ ） A．2 B．5 C．3 ＋1 D．2 2
解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB， 根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠ACD＝30°． ∵B弧AD中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝30°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°， ∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°． ∵⊙O的半径是2， ∴OB＝OQ＝2，
22
∴BQ＝OB＋OQ＝22 ，即PA＋PB的最小值为22． 选D．
同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
2
①若AD＝5，BD＝2，则DE＝ ；
5
②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB；
41
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cosF＝ ；
48
则正确的结论是（ ） A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④
解：①如图1，
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BDE＝∠BDE， ∴△BDE∽△ADB， ∴＝ ，
BDDEADBD4
由AD＝5，BD＝2，可求DE= ，
5
①不正确； ②如图2，
连接CD，
∠FCD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°， ∴∠FCD＝∠ABD，
若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB， 则有：∠ABD＝∠ADB，与已知不符， 故②不正确； ③如图3，
∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC， ∴△FDA∽△FCB； 故③正确； ④如图4，
连接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD， 又∵∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FBA， ∴＝ ，
32
由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，FB＝ ，
3
23
∴BD＝BF－DF＝ ，
3
FCFDFBFA
∵直径AG⊥BD，
23∴DH＝ ，
641∴FH＝ ，
6
FH41
∴cosF＝＝ ，
AF48
故④正确； 故选：C．
同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF ：S圆＝3 3：4π， 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵纸片上下折叠A、B两点重合， ∴∠BMD＝90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴∠BNF＝90°，
∴∠BMD＝∠BNF＝90°， ∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴BN＝MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°－30°＝60°， 又∵AM＝ME（都是半径）， ∴∠AEM＝∠EAM，
11
∴∠AEM＝∠EMN＝ ×60°＝30°，
22
∴∠AEF＝∠AEM＋∠MEN＝30°＋30°＝60°， 同理可求∠AFE＝60°， ∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
13
设圆的半径为r，则MN＝ r，EN＝ r，
22
13
∴EF＝2EN＝3 r，AN＝r＋r＝ r，
22
132
∴S△AEF ：S圆＝（×3r×r）：πr＝33 ：4π，故④正确；
22
综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 选D．
同类题型1.3 同类题型1.4
例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．
1
解：作OF⊥BC于F，则BF＝CF＝ BC＝2，如图，连结OB，
2
2222
在Rt△OBF中，OF＝OB－BF＝(42)－2＝27 ， ∵∠BAC＝45°，BC＝4，
∴点A在BC所对应的一段弧上一点，
∴当点A在BC的垂直平分线上时OA最大， 此时AF⊥BC，AB＝AC，
作BD⊥AC于D，如图，设BD＝x， ∵△ABD为等腰直角三角形， ∴AB＝2BD＝2 x， ∴AC＝2 x，
222
在Rt△BDC中，∵BC＝CD＋BD ， 2222
∴4＝（2x－x）＋x ，即x＝4（2＋2 ）， 11
∵AF﹒BC＝ BD﹒AC， 22
∴AF＝
x﹒2x4
＝22 ＋2，
∴AO＝AF＋OF＝22＋2＋27 ， 即线段OA的最大值为22＋2＋27．
同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB1
于点M，OM＝ ，则sin∠CBD的值等于（ ）
3A．
3 2
1 B．
3
2 2 C．
3
1 D． 2
解：连接AO，
∵OM⊥AB于点M，AO＝BO， ∴∠AOM＝∠BOM， ∵∠AOB＝2∠C ∴∠MOB＝∠C，
1
∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM＝ ，
3
1MO31
∴sin∠CBD＝sin∠OBM＝＝＝ OB131
则sin∠CBD的值等于 ．
3
选B．
同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．
解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC＝OM， ∴∠OMC＝∠OCP， 在△OPM中，MP＝MO， ∴∠MOP＝∠MPO， 又∵∠AOC＝30°，
∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°， 在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180°，
即（∠OCP＋30°）＋（∠OCP＋30°）＋∠OCP＝180°， 整理得，3∠OCP＝120°， ∴∠OCP＝40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2） ∵OC＝OM，
1
∴∠OMP=（180°-∠MOC）× ①，
2
∵OM＝PM，
1
∴∠OPM=（180°-∠OMP）× ②，
2
在△OMP中，30°＋∠MOC＋∠OMP＋∠OPM＝180°③， 把①②代入③得∠MOC＝20°，则∠OMP＝80° ∴∠OCP＝100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）， ∵OC＝OM，
1
∴∠OCP=∠OMC=（180°-∠COM）× ①，
2
∵OM＝PM，
1
∴∠P＝（180°－∠OMP）× ②，
2
∵∠AOC＝30°，
∴∠COM＋∠POM＝150°③，
∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④， ①②③④联立得 ∠P＝10°，
∴∠OCP＝180°－150°－10°＝20°． 故答案为：40°、20°、100°．
同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12，
22
∴QC＝AQ＋AC ＝13， ∴CE＝QC－QE＝13－5＝8， 选D．
例3． 如图，直线l1∥l2 ，⊙O与l1 和l2 分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1 和l2 上的动点，MN沿l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
4 3
A．MN＝
3 B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1 和l2 的距离为2
43
解：A、平移MN使点B与N重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝ ，正确；
3
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM＝3 或C、若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
3
，错误； 3
故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确； D、l1∥l2 ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确． 选B．
同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．
解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大． 连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL）， ∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
2
∴DE ＝EF﹒OE， ∵CF＝1，
∴DE＝x(x＋2) ， ∵△CDE∽△AOE， ∴＝ ，
1x＋1即＝ ， 22＋x(x＋2)
CDCEAOAE
2
解得x＝ ，
3
2
2×(＋1＋2)
3BE×AO11
S△ABE＝＝＝ ．
223
同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵直线l：y＝kx＋43 与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4gh(3) ）， ∴OB＝43 ，
在RT△AOB中，∠OAB＝30°， ∴OA＝3OB＝3×43 ＝12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
1
∴PM＝ PA，
2
设P（x，0）， ∴PA＝12－x，
11
∴⊙P的半径PM＝PA＝6－ x，
22
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A．
同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为
ab 的是（ ） a＋bA． B．解：设⊙O的半径为r，
C． D．
A、∵⊙O是△ABC内切圆，
11
∴S△ABC＝（a＋b＋c）﹒r＝ ab，
22
ab ；
a＋b＋cB、如图，连接OD，则OD＝OC＝r，OA＝b－r， ∵AD是⊙O的切线， ∴OD⊥AB，
即∠AOD＝∠C＝90°， ∴△ADO∽△ACB，
∴r＝
∴OA：AB＝OD：BC，即（b－r）：c＝r：a，
ab ； a＋cC、连接OE，OD，
∵AC与BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形， ∴EC＝OD＝r，OE∥AC， ∴OE：AC＝BE：BC， ∴r：b＝（a－r）：a，
ab∴r＝ ；
a＋bD、解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE； ∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°； ∴四边形ODCE是矩形； ∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE＝OD＝CD＝r，则AD＝AF＝b－r； 连接OB，OF，
解得：r＝
222222
由勾股定理得：BF＝OB－OF ，BE＝OB－OE ， ∵OB＝OB，OF＝OE， ∴BF＝BE，
c＋b－a则BA＋AF＝BC＋CE，c＋b－r＝a＋r，即r＝ ．
2
故选C．
例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则 的值为______________．
EFGH
解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r， 则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线， ∴∠OAF＝60°÷2＝30°， ∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°＋30°＝60°，
3
∴FI=r﹒sin60°= r，
23
r×2=3 r， 2
∵AO＝2OI，
111
∴OI＝ r，CI＝r－r＝ r，
222GHCI1∴＝＝ ， BDCO2
1
∴GH＝ BD＝r，
2∴EF=∴＝EFGHr3r＝3 ．
同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________．
解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE＝5，EC＝3，
∴AO＝CE＋OE，即有，OE＝EN＝1，
1
又∵△DMN∽△DEO，且MN= DM，
3
∴DE＝3OE＝3，
又∵OE∥BP，O是DB中点，所以E也是中点， ∴EP＝DE＝3， ∴BP＝2，
又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2，
3
∴EF=EP× ＝1.8，
5
故可得DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8．
同类题型4.2 如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
23
A．DE的长 B．BC的长 C． DE的长 D． DE的长
32
解：如图，作直径CF，连接BF，
在Rt△CBF中，sin∠F＝＝
BCBC ； CF2
∵BD＝2AD，EC＝2AE， ∴AD：AB＝AE：AC＝1：3， 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB， ∴BC＝3DE，
BC3DE3
∴sin∠A＝sin∠F＝＝＝ DE．
222
选D．
例5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直
线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE＝7 2 ．下列
12
四个结论：①AC平分∠DAB；②PF ＝PB﹒PA；③若BC＝ OP，则阴影部分的面积为
2
7493π－ 3 ；④若PC＝24，则tan∠PCB＝ ．其中正确的是（ ） 444A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
解：①连接OC． ∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴OC∥AD．
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC． 即AC平分∠DAB．故正确； ②∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠PCB＋∠ACD＝90°， 又∵∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB．
又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE． ∴∠PFC＝∠PCF． ∴PC＝PF，
∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴PC：PA＝PB：PC，
2
∴PC ＝PB﹒PA，
2
即PF ＝PB﹒PA；故正确； ③连接AE．
∵∠ACE＝∠BCE， ⌒⌒∴AE＝BE ， ∴AE＝BE．
又∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°．
∴AB=2BE=2×72 ＝14，
∴OB＝OC＝7， ∵PD是切线， ∴∠OCP＝90°，
1
∵BC＝ OP，
2
∴BC是Rt△OCP的中线， ∴BC＝OB＝OC，
即△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°，
49
∴S△BOC＝3 ，S_(扇形BOC)＝(60)/(360)×π×7^(2)＝(49)/(6)π，
4
4949
∴阴影部分的面积为π－3 ；故错误；
64
④∵△PCB∽△PAC， ∴＝ ，
∴tan∠PCB＝tan∠PAC＝＝
PBBCPCACBCPB ， ACPC设PB＝x，则PA＝x＋14，
2
∵PC ＝PB﹒PA，
2
∴24 ＝x（x＋14），
解得：x1 ＝18，x2 ＝－32， ∴PB＝18，
PB183
∴tan∠PCB＝＝＝ ；故正确．
PC244
故选C．
同类题型5.1 如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．
解：∵扇形OAB的圆心角为90°，扇形半径为2，
2
90π×22
∴扇形面积为：＝π（cm ），
360
12π2
半圆面积为：×π×1＝（cm ），
22
π2
∴SQ＋SM ＝SM＋SP＝（cm ），
2
∴SQ＝SP ， 连接AB，OD，
∵两半圆的直径相等， ∴∠AOD＝∠BOD＝45°，
12
∴S绿色＝S△AOD＝×2×1＝1(cm)，
2
ππ2
∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB－S半圆－S绿色＝π－－1＝－1(cm)．
22
同类题型5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．
解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，则M、O、E共线， 由题意得：∠MOG＝∠EOF＝45°， ∴∠FOG＝90°，且OF＝OG＝1，
2
180π×11π
∴S透明区域＝＋2××1×1＝＋1，
36022过O作ON⊥AD于N，
11
∴ON＝FG＝2 ，
22
1
∴AB＝2ON＝2×2＝2 ，
2∴S矩形＝2×2＝22，
π
S透光区域2＋12(π＋2)∴＝＝．
S矩形822
同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ） 2ππ2π2πA． B．2 3－ C．2 3－ D．4 3－
3333
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′＝60°，
∵∠AOB＝120°，∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B＝120°， ∵∠AO′B′＝120°， ∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
1
∴图中阴影部分的面积＝S△B′O′B －（S扇形O′OB－S△OO′B）＝×1×23－
2
2
60﹒π×212π（－×2×3）＝23－．
36023选C．
同类题型5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1 和半圆O2 ，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且
⌒⌒EF＝2（EF与AB在圆心O1 和O2 的同侧），则由AE ，EF，FB ，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．
解：连接O1O2 ，O1 E，O2 F，
则四边形O1O2 FE是等腰梯形， 过E作EG⊥O1O2 ，过FH⊥O1O2 ， ∴四边形EGHF是矩形， ∴GH＝EF＝2，
1
∴O1G＝ ，
2
∵O1 E＝1， ∴GE＝
3 ， 2
O1G1∴＝ ； O1E2
∴∠O1 EG＝30°， ∴∠AO1 E＝30°， 同理∠BO2 F＝30°，
53π
∴阴影部分的面积＝S矩形ABO2O1－2S扇形AO1E－S梯形EFO2O1＝3－－ ．
46
专题08 几何变换问题
例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′
B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）
同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（ ）
A．是一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有三个以上不同的值
同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1 点，若设△ABC的面积为S1 ，△AB1 C的面积为S2 ，则S1 ，S2 的大小关系为（ ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
例2． 如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（ ） A．2 ：1 B．2：1 C．5 ：2 D．3 ：1
同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB222
≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN＋CM＝MN ；⑤若AB＝2，则S△OMN
1
的最小值是 ，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．5
同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．
同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．
同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．
同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．
例3．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1 过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1 E⊥AB时， 的值等于（ ）
BEAE
A．
3 6
B．
3－1
6
C．3＋1
8
D．3－1
2
同类题型3.1 如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是_____________．
同类题型3.2 如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（ ） A．20° B．40° C．100° D．140°
同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④AD2 3＝ ，其中正确的结论是（ ） AB5A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
同类题型3.4 △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于_______．
专题08 几何变换问题
例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）
解：如图：连接B′B″，
∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30°，
1
∴BC＝ AB＝6，AC＝63 ，
2
∴B′C＝6，
∴AB′＝AC－B′C＝63 －6， ∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″， ∴四边形B″C″CB′是矩形， ∴B″B′∥BC，B″B′＝C″C， ∴△AB″B′∽△ABC， AB′B″B′∴＝ ，
ACBC63－6B″B′即：＝ ，
663
解得：B″B′＝6－23 ．
∴C″C＝B″B′＝6－23 ．
同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（ ） A．是一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有三个以上不同的值
解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x＝2，y＝3， x＋y＝5；
（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x＝2，y＝3，x＋y＝5； ②长边重合，此时x＝2，y＝5，x＋y＝7． 综上可得：x＋y＝5或7． 选B．
同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），
如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1 点，若设△ABC的面积为S1 ，△AB1 C的面积为S2 ，则S1 ，S2 的大小关系为（ ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
1
解：△ABC的面积为S1＝ ×4×4＝8，
2
将B点平移后得到B1 点的坐标是（2，1），
1
所以△AB1 C的面积为S2＝ ×4×4＝8，
2
所以S1＝S2 ． 选B．
同类题型1.3 同类题型1.4
例2． 如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（ ） A．2 ：1 B．2：1 C．5 ：2 D．3 ：1
解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60°， 又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60°， ∴∠ABP＝∠CBP′， 在△ABP和△CBP′中， ??BP＝BP′
∵?∠ABP＝∠CBP′， ??AB＝BC∴△ABP≌△CBP′（SAS）， ∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝2：3，
3
∴AP＝ P′A，
2
连接PP′，则△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB， ∵∠AP′B＝150°，
∴∠AP′P＝150°－60°＝90°， ∴△APP′是直角三角形，
3
设P′A＝x，则AP＝ x，
2根据勾股定理，PP′＝则PB＝
5
x， 2
5
x：x＝5 ：2． 2
AP－P′A＝
22
9225
x－x＝ x， 42
∴PB：P′A＝
选C．
同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①设∠1＝x度，则∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度， ∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度， ∴D、A、E三点共线；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E＝60°，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠CDA＝120°－60°＝60°， ∴DC平分∠BDA； ③∵∠BAC＝60°， ∠E＝60°， ∴∠E＝∠BAC．
④由旋转可知AE＝BD， 又∵∠DAE＝180°， ∴DE＝AE＋AD．
∵△CDE为等边三角形， ∴DC＝DB＋BA． 同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB222
≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN＋CM＝MN ；⑤若AB＝2，则S△OMN
1
的最小值是 ，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°， ∴∠BCN＋∠DCN＝90°， 又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90°， ∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°， ∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN， 又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC＋∠COM＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON， 又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确； ∵∠BON＋∠BOM＝∠COM＋∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴△OMN∽△OAD，故③正确； ∵AB＝BC，CM＝BN， ∴BM＝AN，
222
又∵Rt△BMN中，BM＋BN＝MN ，
222
∴AN＋CM＝MN ，故④正确； ∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1， ∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2－x，
112
∴△MNB的面积＝x（2－x）＝－x ＋x，
22
1
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值 ，
2
11
此时S△OMN 的最小值是1-= ，故⑤正确；
22
综上所述，正确结论的个数是5个， 选D．
同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．
解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，
∴△BOA≌△CDA， ∴AB＝AC，OA＝AD，
∵B、D、C共线，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝OB，
∵OA＝AD，BO＝CD＝BD， ∴OD⊥AB，
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
?3k＋b＝0
把A与B坐标代入得：? ，
?b＝4
??k＝－4
3，解得：?
?b＝4?
4
∴直线AB解析式为y＝－ x＋4，
33
∴直线OD解析式为y＝ x，
44y＝－x＋4
3
联立得：，
3y＝x4
???
48254836
解得：，即 M（ ， ），
362525y＝
25
∵M为线段OD的中点，
9672∴D（ ， ），
2525
设直线CD解析式为y＝mx＋n，
??96m＋n＝72
25，把B与D坐标代入得：?25
??n＝4
7
解得：m＝－ ，n＝4，
24
7
则直线CD解析式为y＝－ x＋4．
24
同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．
???
x＝
解：过C点作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N，
由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，
22
由勾股定理得，CG＝BG＋DG ＝4， ∴DG＝DC－CG＝1，
22
则AG＝AD＋DG＝10 ，
BABGBCBE∴△ABG∽△CBE， CEBC3∴＝＝ ， AGAB5
∵＝ ，∠ABG＝∠CBE，
310
解得，CE＝ ，
5
∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90°， ∴△BCM∽△BGC， CMBCCM3∴＝ ，即＝ ， CGBG45
12∴CM＝ ，
5
∴MN＝BE＝3，
123
∴CN＝3－＝ ，
55229
∴EN＝CE－CN＝ ，
5916
∴FN＝EF－EN＝5－＝ ，
55
33
CNCN551
∴tanα﹒tanβ＝﹒＝×＝ ．
ENFN91616
55
同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．
解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4， ∴A′P＝PB′，
1
∴PC＝ A′B′＝2，
2
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．
解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12， 在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝3 a， ∵BM＋FM＝BC， ∴3 a＋a＝12， ∴a＝6 3 －6，
∴BH＝2a＝12 3 －12．
如图2中，当DG⊥AB时，易证GH1 ⊥DF，此时BH1 的值最小，易知BH1＝BK＋KH1＝3 3 ＋3，
∴HH1＝BH－BH1＝9 3 －15，
当旋转角为60°时，F与H2 重合，此时BH的值最大，易知最大值BH2＝6 3 ， 观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，
点H相应移动的路径长＝2HH1＋HH2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．
例3．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1 过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，
当A1 E⊥AB时， 的值等于（ ） A．
3 6
B．
3－1
6
C．3＋1
8
D．3－1
2
BEAE
解：如图所示，延长AB，D1A1 交于点G，
∵A1 E⊥AB，∠EA1 C＝∠A＝120°， ∴∠G＝120°－90°＝30°， 又∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°－30°＝30°， ∴∠G＝∠BCG＝30°， ∴BC＝BG＝BA，
设BE＝1，AE＝x＝A1 E，则AB＝1＋x＝BC＝BG，A1 G＝2x， ∴GE＝1＋x＋1＝x＋2，
222
∵Rt△A1 GE中，A1E＋GE＝A1G ， 222∴x＋（x＋2）＝（2x） ， 解得x＝1＋3 ，（负值已舍去） ∴AE＝1＋3 ， BE13－1∴＝＝ ， AE1＋32
选D．
同类题型3.1 如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是_____________．
解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝PC，
设PC＝x，则PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x， ∴PD＝EQ，
∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE＝EF， ∵DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形， 易证明△DEC≌△BEC， ∴DE＝BE， ∴EF＝BE， ∵EQ⊥FB，
1
∴FQ＝BQ＝ BF，
2
∵AB＝4，F是AB的中点， ∴BF＝2，
∴FQ＝BQ＝PE＝1，
∴CE＝2 ，PD＝4－1＝3，
22
Rt△DAF中，DF＝4＋2＝25 ， DE＝EF＝10 ， 如图2，∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA， CGDCDG4
∴＝＝＝ ＝2， AGAFFG2
∴CG＝2AG，DG＝2FG，
125∴FG＝×25＝ ，
3322
∵AC＝4＋4＝42 ，
282∴CG＝×42＝ ，
338252∴EG＝－2＝ ，
33
连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE＝45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
25310
∴GH＝FH＝＝ ，
32∴EH＝EF－FH＝10－
10210
＝ ， 33
10
， 3
由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH＝∴∠EHM＝∠DEF＝90°， ∴DE∥HM，
∴△DEN∽△MNH，
DEENMHNH10EN∴＝ ＝3，
10NH∴＝ ， 3
∴EN＝3NH，
210
∵EN＋NH═EH＝ ，
3∴EN＝
10 ， 2
2101010
∴NH＝EH－EN＝－＝ ，
326
Rt△GNH中，GN＝GH＋NH＝
22
(
10210252
)＋()＝ ， 366
由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，
10525252＋10＋＋＝ ； 2632
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
∵AC平分∠DAB， ∴GK＝GR，
1
S△ADG2AD﹒KGAD4∴＝＝＝ ＝2， S△AGF1AF2
AF﹒GR21
S△ADG2DG﹒h∵＝ ＝2， S△AGF1
GF﹒h2∴ ＝2，
DGGFS△DNFDFDN同理，＝＝ ＝3，
S△MNFFMMN其它解法同解法一，
10525252＋10＋＋＝ ； 2632
解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD， 可得：∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
∵AC是对角线， ∴EP＝EQ，
易证△DQE和△FPE全等，
∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP， 设EP＝x，则DQ＝4－x＝FP＝x－2， 解得x＝3，所以PF＝1，
22
∴AE＝3＋3＝32 ， ∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
282
∴同解法一得：CG＝×42＝ ，
338252
∴EG＝－2＝ ，
33
142
，
33
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD， 则易证△GHF≌△FKM全等，
42
∴GH＝FK＝ ，HF＝MK＝ ，
33
AG＝AC＝
410210
∵ML＝AK＝AF＋FK＝2＋＝ ，DL＝AD－MK＝4－＝ ，
3333
即DL＝LM， ∴∠LDM＝45°
∴DM在正方形对角线DB上， 过N作NI⊥AB，则NI＝IB， 设NI＝y， ∵NI∥EP ∴＝
∴＝ ， 31
解得y＝1.5，
所以FI＝2－y＝0.5， ∴I为FP的中点， ∴N是EF的中点，
10
∴EN＝0.5EF＝ ，
2
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，
31022325
∴BN＝2 ，BK＝AB－AK＝4－＝ ，BM＝2 ，MN＝BN－BM＝2－2＝2 ，
2333236∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
10525252＋10
＋＋＝ ． 2632
NIFIEPFPy2－y
同类题型3.2 如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（ ） A．20° B．40° C．100° D．140°
解：如图所示：
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″． 如图所示：由轴对称性质可得，
OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， 所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°－80°）÷2＝50°， 又因为∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝100°． 选C．
同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④AD2 3＝ ，其中正确的结论是（ ） AB5A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，
∴GF⊥AD，
由折叠可得，AH＝AD＝2AG，∠AHE＝∠D＝90°， ∴∠AHG＝30°，∠EHM＝90°－30°＝60°， ∴∠HAG＝60°＝∠AED＝∠MEH，
∴△EHM中，∠EMH＝60°＝∠EHM＝∠MEH， ∴△MEH为等边三角形，故①正确； ∵∠EHM＝60°，HE＝HF， ∴∠HEF＝30°，
∴∠FEM＝60°＋30°＝90°，即AE⊥EF，故②正确； ∵∠PEH＝∠MHE＝60°＝∠HEA，∠EPH＝∠EHA＝90°， ∴△PHE∽△HAE，故③正确； 设AD＝2＝AH，则AG＝1，
∴Rt△AGH中，GH=3AG=3 ，
AH2
Rt△AEH中，EH==3 ＝HF，
335
∴GF=3 ＝AB，
3
AD223∴== ，故④正确， AB55
33
综上所述，正确的结论是①②③④， 选D．
同类题型3.4 △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于_______． 解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
22
∴BC＝3＋4 ＝5， ∵CD＝DB，
5
∴AD＝DC＝DB＝ ，
2
11
∵﹒BC﹒AH＝ ﹒AB﹒AC， 22
12∴AH＝ ，
5
∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形， 11
∵﹒AD﹒BO＝ ﹒BD﹒AH， 22
12∴OB＝ ，
5
24
∴BE＝2OB＝ ，
5
227
在Rt△BCE中，EC＝BC－BE＝ ．
5
专题09 阅读理解问题
例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，?这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，
⌒⌒⌒
依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，?得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，?得到螺旋折线（如图），已知点P1 （0，1），P2 （－1，0），P3 （0，－1），则该折线上的点P9 的坐标为（ ） A．（－6，24） B．（－6，25） C．（－5，24） D．（－5，25）
同类题型1.1 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]
12
＝－3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为（ ）
2A．0或2 B．0或2 C．1或－ 2 D．2 或－ 2
nmn﹣1m﹣1
同类题型1.2 对于函数y＝x＋x，我们定义y'＝nx＋mx（m、n为常数）．
423
例如y＝x＋x，则y'＝4x＋2x．
1322
已知：y＝x＋（m﹣1）x＋mx．
3
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
1
（2）若方程y′＝m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 ．
4
例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两
?ax＋by＝3
次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组?
?x＋2y＝2
有正数解的概率为___．
同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一
2
面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y＝2x －x上的概率是（ ） 2111A． B． C． D． 3639
同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投
2
掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率是________．
同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一
1
次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组
4
?x＋2≤a? 有解的概率为_________． ?1－x≤2a22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））?fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
同类题型3.1 将1，2，3，?，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将
1
每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，
2
求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 同类题型3.2 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；
②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点． 同类题型3.3 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x]＋2{x}＋＜x≥22（ ） A．没有解 B．恰好有1个解 C．有2个或3个解 D．有无数个解
同类题型3.4对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，
22
2}＝1，因此，min{－2，－3}＝______；若min{（x－1），x }＝1，则x＝____________．
1
例4．已知点A在函数y1＝－（x＞0）的图象上，点B在直线y2 ＝kx＋1＋k（k为常数，
x且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对 同类题型4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： ①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；
②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”．
??|x＋4|，x≤0
则函数f（x）＝ ?1的“黄金点对”的个数为（ ）
－ ，x＞0?
?
xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（－1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，－3），C（－1，－5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为____________．
同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__________．
专题09 阅读理解问题
例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，?这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，
⌒⌒⌒
依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，?得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ，P2P3 ，P3P4 ，?得到螺旋折线（如图），已知点P1 （0，1），P2 （－1，0），P3 （0，－1），则该折线上的点P9 的坐标为（ ） A．（－6，24） B．（－6，25） C．（－5，24） D．（－5，25）
解：由题意，P5 在P2 的正上方，推出P9 在P6 的正上方，且到P6 的距离＝21＋5＝26， 所以P9 的坐标为（－6，25）， 选B．
同类题型1.1 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]
12
＝－3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为（ ）
2A．0或2
B．0或2
C．1或－ 2
D．2 或－ 2
12
解：当1≤x＜2时，x ＝1，解得x1＝2 ，x2＝－2 ；
2
12
当x＝0，x ＝0，x＝0；
2
12
当－1≤x＜0时，x ＝－1，方程没有实数解；
2
12
当－2≤x＜－1时，x ＝－2，方程没有实数解；
212
所以方程[x]＝x 的解为0或2 ．
2
选A．
同类题型1.2 对于函数y＝x＋x，我们定义y'＝nx例如y＝x＋x，则y'＝4x＋2x． 1322
已知：y＝x＋（m﹣1）x＋mx．
3
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
1
（2）若方程y′＝m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 ．
4解：根据题意得y′＝x＋2（m﹣1）x＋m，
2
2
4
2
3
nmn﹣1
＋mxm﹣1
（m、n为常数）．
（1）∵方程x﹣2（m﹣1）x＋m＝0有两个相等实数根， ∴△＝[﹣2（m﹣1）]﹣4m＝0， 1
解得：m＝；
2
1122
（2）y′＝m﹣，即x＋2（m﹣1）x＋m＝m﹣，
44122
化简得：x＋2（m﹣1）x＋m﹣m＋＝0，
4∵方程有两个正数根， 2(m－1)＜0
1
m2－m＋＞0
4∴
2
2
22
??
， ?
1
?[－2(m－1)]－4(m－m＋)≥0?4
2
2
31解得：m≤且m≠．
42
例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两
?ax＋by＝3
次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组?
?x＋2y＝2
有正数解的概率为___．
解：①当2a－b＝0时，方程组无解；
②当2a－b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
6－2b2a－3
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝ ，y＝ ，
2a－b2a－b6－2b2a－3
∵使x、y都大于0则有x＝ ＞0，y＝ ＞0，
2a－b2a－b∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3， ∵a，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2， 这两种情况的总出现可能有3＋10＝13种； （1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）
13
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝ ．
36
同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一
2
面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y＝2x －x上的概率是（ ） 2111A． B． C． D． 3639
解：掷一次共出现6种情况，根据图形可知1，2，3所对应的数分别是1，5，4，
21
在抛物线上的点为：（1，1），只有两种情况，因此概率为：＝ ．
63
选C．
同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投
2
掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率是________．
2
解：∵二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点，
2
∴△＜0，即m －4n＜0， 2
∴m ＜4n， 列表如下： m、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 2共有36种等可能的结果，其中满足m ＜4n占17种，
172
所以二次函数y＝x ＋mx＋n的图象与x轴没有公共点的概率＝ ．
36
同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．
4444
解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
2
90π×1
而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，
360
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，
4－π
∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．
4
选A．
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一
1
次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组
4
?x＋2≤a? 有解的概率为_________． ?1－x≤2a1
解：当a＝－1时，y＝2x＋a可化为y＝2x－1，与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，
2
－1），
111
三角形面积为××1＝ ；
224
1
当a＝1时，y＝2x＋a可化为y＝2x＋1，与x轴交点为（－ ，0），与y轴交点为（0，1），
2
111
三角形的面积为××1＝ ；
224
当a＝2时，y＝2x＋2可化为y＝2x＋2，与x轴交点为（－1，0），与y轴交点为（0，2），
1
三角形的面积为 ×2×1＝1（舍去）；
2
?x＋2≤a?x＋2≤－1?x≤－3
当a＝－1时，不等式组? 可化为? ，不等式组的解集为? ，无解；
?1－x≤2a?1－x≤－2?x≥3?x＋2≤a?x＋2≤1?x≤－1?x≤－1???当a＝1时，不等式组 可化为 ，解得 ，解集为? ，解得?1－x≤2a?1－x≤2?－x≤1?x≥－1
x＝－1．
1
使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x4
?x＋2≤a1
的不等式组? 有解的概率为P＝ ．
3?1－x≤2a
22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））?fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
2
解：∵8 ＋1＝65，∴f1 （8）＝f（8）＝6＋5＝11，
22
同理，由11 ＋1＝122得f2 （8）＝1＋2＋2＝5；由5 ＋1＝26，得f3 （8）＝2＋6＝8， 可得f4（8）＝6＋5＝11＝f1 （8），f5（8）＝f2 （8），?，
*
∴fk＋3（8）＝fk （8）对任意k∈N 成立 又∵2016＝3×672，
∴f2016（8）＝f2013（8）＝f2000（8）＝?＝f3 （8）＝8． 选C．
同类题型3.1 将1，2，3，?，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将
1
每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，
2
求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 解：①若a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a，
②若b＞a则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b
由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a谁是b无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律，
如果100和99一组，那么99就被浪费了，
因为输入100和99这组数字，得到的只是100， 如果我们取两组数字100和1一组，99和2一组， 则这两组数字代入再求和是199， 如果我们这样取100和99 2和1， 则这两组数字代入再求和是102，
这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要100个自然数里面最大的五十个数字从51到100任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51到100的和， 51＋52＋53＋?＋100＝3775．
同类题型3.2 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号） ①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6； ②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
解：①当x＝1.7时， [x]＋（x）＋[x）
＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2
＝5，故①错误； ②当x＝－2.1时， [x]＋（x）＋[x）
＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）
＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x]＋3（x）＋[x）＝11， 7[x]＋3＋[x）＝11， 7[x]＋[x）＝8，
1＜x＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x＜1时，
∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，
当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1， 当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，
11
∵y＝4x，则x－1＝4x时，得x＝－ ；x＋1＝4x时，得x＝ ；当x＝0时，y＝4x＝0，
33
∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误， 答案为②③．
同类题型3.3 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x]＋2{x}＋＜x≥22（ ） A．没有解 B．恰好有1个解
C．有2个或3个解 D．有无数个解
】解：当x＝3时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×3＋3＝18，当x＝4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×4＋2×4＋4＝24，
∴可得x的大致范围为3＜x＜4，
①3＜x＜3.5时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋3＝20，不符合方程； ②当3.5＜x＜4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋4＝21，不符合方程． 选A．
同类题型3.4对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，
22
2}＝1，因此，min{－2，－3}＝______；若min{（x－1），x }＝1，则x＝____________． 解：min{－2，－3}＝－3，
22
∵min{（x－1），x }＝1，
22
当x＝0.5时，x＝（x－1） ，不可能得出，最小值为1，
22
∴当x＞0.5时，（x－1）＜x ，
2
则（x－1） ＝1， x－1＝±1，
x－1＝1，x－1＝－1，
解得：x1 ＝2，x2 ＝0（不合题意，舍去），
22
当x＜0.5时，（x－1）＞x ， 2
则x ＝1，
解得：x1 ＝1（不合题意，舍去），x2 ＝－1， 综上所述：x的值为：2或－1．
1
例4．已知点A在函数y1＝－（x＞0）的图象上，点B在直线y2 ＝kx＋1＋k（k为常数，
x且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
1
解：设A（a，－ ），
a1
由题意知，点A关于原点的对称点B（－a， ）在直线y2 ＝kx＋1＋k上，
a1
则 ＝－ak＋1＋k，
a2
整理，得：ka －（k＋1）a＋1＝0 ①， 即（a－1）（ka－1）＝0， ∴a－1＝0或ka－1＝0， 则a＝1或ka－1＝0，
若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
1
若k≠0，则a＝1或a＝ ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2
k对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 选A．
同类题型4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： ①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；
②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”．
??|x＋4|，x≤0
则函数f（x）＝ ?1的“黄金点对”的个数为（ ）
－ ，x＞0?
?
xA．0个 B．1个
解：根据题意：“黄金点对”，可知，
C．2个 D．3个
1
作出函数y＝－ （x＞0）的图象关于原点对称的图象，
x同一坐标系里作出函数y＝|x＋4|，x≤0的图象如右图： 观察图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3． 即f（x）的“黄金点对”有：3个． 选D．
同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（－1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，－3），C（－1，－5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为____________．
解：若设M（x，y），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3－x＋1－y＝y＋5＋x＋1＝5－x＋3＋y，
解得，x＝1，y＝－2，则M（1，－2）．
同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__________．
解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD， ∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
1
①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝ （180°－46°）＝67°，
2
∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，
②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°， ∴∠ACB＝46°＋46°＝92°， 故答案为113°或92°．
专题10 选择填空方法综述
例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q2
同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm ），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
2
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm ；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．
其中正确结论的序号是___________．
1
同类题型1.1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，sinA＝sinB＝ ，动点P3
自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（ ）
A．B．C．D． 同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．
⌒同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（ ）
A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C
例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（ ）
A．
7 22 7 B．
33 5 C．
5
D．
26 4
同类题型2.1 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．
同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（ ） A．6 2 B．10 C．2 26 D．2 29
kx
同类题型2.3
例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH ＝3，则S△ADF ＝（ ） A．6 B．4 C．3 D．2
同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 2 ，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
222
A．1 B． C． D．
233
同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．
同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于
5
点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝_________．
6
例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2 5 －2；④当线段DG最小时，△BCG的
8
面积S＝8＋ 5 ．其中正确的命题有
5
____________．（填序号）
同类题型4.1 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝ 2 ；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1 、S2 的两部分，将△CDF分成面积为S3 、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ①S1 ：S3 ＝1：n ②S1 ：S4 ＝1：（2n＋1） ③（S1＋S4 ）：（S2＋S3 ）＝1：n ④（S3－S1 ）：（S2－S4 ）＝n：（n＋1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
同类题型4.3 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2 DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④
例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝ （x＞0）同时经过点B，且点
kxA在点B的左侧，点A的横坐标为2 ，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．
同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数
191
y＝ 和y＝ 在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y＝ 的图象
xx于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．
x
专题10 选择填空方法综述
例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q2
同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm ），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
2
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm ；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．
其中正确结论的序号是___________．
解：由图象可以判定：BE＝BC＝10 cm．DE＝4 cm，
12
当点P在ED上运动时，S△BPQ＝BC﹒AB＝40cm ，
2
∴AB＝8 cm， ∴AE＝6 cm，
∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP＝BQ， ∴△BPQ是等腰三角形， 故①正确；
12
S△ABE＝AB﹒AE＝24 cm ，
2
故②错误；
当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y＝110－5t， 故③正确；
△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA＝BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意， 故④错误；
PCAE3
⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即＝＝ ，
BCAB4
∴PC＝7.5，即t＝14.5． 故⑤正确．
综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．
1
同类题型1.1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，sinA＝sinB＝ ，动点P3
自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（ ）
A．B．
解：过点Q做QM⊥AB于点M．
当点Q在线段AD上时，如图1所示，
C．D．
1
∵AP＝AQ＝t（0≤t≤5），sinA＝ ，
3
1
∴QM＝ t，
3112∴s＝AP﹒QM＝t ；
26
当点Q在线段CD上时，如图2所示，
5
∵AP＝t（5≤t≤8），QM＝AD﹒sinA＝ ，
3
15
∴s＝AP﹒QM＝ t；
26
当点Q在线段CB上时，如图3所示，
202202
∵AP＝t（8≤t≤ ＋3（利用解直角三角形求出AB＝ ＋3），BQ＝5＋3＋5－t＝13
331
－t，sinB＝ ，
3
1
∴QM＝ （13－t），
3112
∴s＝AP﹒QM＝－（t －13t），
261213
∴s＝－（t －13t）的对称轴为直线x＝ ．
62
∵t＜13， ∴s＞0．
综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意． 选B．
同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．
解：根据题意，
当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC＝4； 当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD＝3； 当P在DA上时，三角形面积变小，结合图2可得，DA＝5； 过D作DE⊥AB于E， ∵AB∥CD，AB⊥BC， ∴四边形DEBC是矩形，
2222
∴EB＝CD＝3，DE＝BC＝4，AE＝AD－DE＝5－4 ＝3， ∴AB＝AE＋EB＝3＋3＝6．
⌒同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（ ）
A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段， 故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，
因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x
的范围，
⌒故中间一段图象对应的路径为BD ，
又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，
所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，
故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C）， 选D．
同类题型1.4
例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（ ）
72 73 526A． B． C． D．
2354
解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称， ∴PB＋PM＝PD＋PM，
∴当D、P、M共线时，P′B＋P′M＝DM的值最小，
1
∵CM＝ BC＝2，
3
∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC＝6， ∴CM＝2，HM＝1，DH＝33 ，
2222
在Rt△DMH中，DM＝DH＋HM＝(33)＋1＝27 ， ∵CM∥AD，
P′MCM21∴＝＝＝ ， DP′AD63
17
∴P′M＝DM＝ ．
42
选A．
同类题型2.1 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
2222
在Rt△OBK中，OB＝BK＋OK＝8＋4＝45 ， ∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝25 ，
222
设OA＝AB＝x，在Rt△ABK中，∵AB＝AK＋BK ， 222∴x＝（8－x）＋4 ， ∴x＝5， ∴A（5，0），
∵A、C关于直线OB对称， ∴PC＋PD＝PA＋PD＝DA， ∴此时PC＋PD最短，
12
∵直线OB解析式为y＝ x，直线AD解析式为y＝－ x＋2，
25
120y＝xx＝29
由解得 ，
210y＝－x＋2y＝
59
2010
∴点P坐标（ ， ）．
99
??????
同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（ ） A．6 2 B．10 C．2 26 D．2 29
kx
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M（6， ），N（ ，6），
66
∴BN＝6－ ，BM＝6－ ， 66
∵△OMN的面积为10，
1k1k1k2
∴6×6－×6×－×6×－×（6－） ＝10，
262626
∴k＝24， ∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，
kkkk∵AM＝AM′＝4， ∴BM′＝10，BN＝2，
2222
∴NM′＝BM′＋BN＝10＋2＝226 ， 选C．
同类题型2.3
例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH ＝3，则S△ADF ＝（ ） A．6 B．4 C．3 D．2
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°． ∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°． ∴∠BAE＋∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ?AE＝AF? ， ?AB＝AD∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD，
∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF， ∴EG＝GF， ∵GH⊥CE， ∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC， ∵S△EGH ＝3， ∴S△EFC ＝12，
∴CF＝26 ，EF＝43 ， ∴AF＝43 ，
设AD＝x，则DF＝x－26 ，
222∵AF＝AD＋DF ，
222
∴（43）＝x＋（x－26） ， ∴x＝6＋32 ，
∴AD＝6＋32 ，DF＝32－6 ，
1
∴S△ADF＝ AD﹒DF＝6．
2
选A．
同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．
解：如图，
连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点， ∴BD⊥AC，
∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠BDF，
??∠A＝∠DBF在△ADE和△BDF中，?AD＝BD，
??∠ADE＝∠BDF∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，DE＝DF，
在Rt△DEF中，DF＝DE＝m． ∴EF＝2DE＝2 m，
∴△BEF的周长为BE＋BF＋EF＝BE＋AE＋EF＝AB＋EF＝2＋2 m．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 2 ，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
222
A．1 B． C． D．
233
解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．
1
在Rt△ADE中，AD＝22 ，DE＝ AB＝1，
2
22
∴AE＝AD＋DE ＝3．
根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF． ∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE＝FE，
∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．
∵∠DEA＋∠AEF＋∠FEM＋∠MEC＝180°，
1
∴∠AEF＋∠FEM＝ ×180°＝90°．
2
又∵∠EAF＋∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠FEM．
∵∠AFE＝∠EMF＝90°， ∴△AFE∽△EMF， MFFEMF1∴＝ ，即＝ ， FEEA13
12∴MF＝ ，CF＝2MF＝ ．
33选C．
同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，∠BAF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBF＝90°， ∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＋∠CBF＝90°， ∴∠ABE＝∠FCB，
??∠EAB＝∠BFC＝90°
在△ABE和△FCB中，?AB＝CF，
?∠ABE＝∠FCB?
∴△ABE≌△FCB，
∴BF＝AE，BE＝BC＝1， ∵BE⊥AC，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°， ∵∠ABF＋∠AEB＝90°， ∴∠BAF＝∠AEB， ∵∠BAE＝∠AFB， ∴△ABE∽△FBA，
ABBEBFABAB1
∴＝ ， AEAB∴＝ ， 2
∴AE＝AB ，
222
在Rt△ABE中，BE＝1，根据勾股定理得，AB＋AE＝BE ＝1，
2
∴AE＋AE ＝1， ∵AE＞0，
5－1
∴AE＝ ．
2
同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于
5
点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝_________．
6
解：如图，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°， ∴AM＝BM＝1，
2222
在Rt△ADM中，DM＝AD＋AM＝2＋1＝5 ， ∵AM∥CD， AMMP1∴＝＝ ， DCPD2255∴DP＝ ，∵PF＝ ，
365
， 2
∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP， ∴△DEF∽△DPC， ∴DF＝DP－PF＝∴＝ ， 52DE∴＝ ， 225
3
5∴DE＝ ，
6
57
∴CE＝CD－DE＝2－＝ ．
66
例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2 5 －2；④当线段DG最小时，△BCG的
8
面积S＝8＋ 5 ．其中正确的命题有
5
____________．（填序号）
DFDEDCDP
解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动， ∴AE＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°， 在△BAE和△ADF中， ??AE＝DE ?∠BAE＝∠ADF＝90°，
??AB＝AD∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF＋∠BAG＝90°，
∴∠ABE＋∠BAG＝90°，即∠AGB＝90°， ∴AF⊥BE．故①正确； ∵∠AGB＝90°，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分， 由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
90π×2
∴长度为 ＝π，故命题②正确；
180
如图，
设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点， ∴当点G在PD上时，DG有最小值，
1
在Rt△ADP中，AP＝ AB＝2，AD＝4，根据勾股定理得，PD＝25 ，
2
∴DG的最小值为2gh(5) －2，故③正确；
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N， ∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP， ∴＝ ， 10－25∴GM＝ ，
5
10＋25
∴△BCG的高GN＝4－GM＝ ，
5
110＋2545
∴S△BCG＝×4×＝4＋ ，故④错误，
255
∴正确的有①②③．
同类题型4.1 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝ 2 ；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
GMDGAPDP
解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF， ∴＝ ，
11
∵AE＝AD＝ BC，
22AF1∴＝ ， CF2
∴CF＝2AF，故④正确； ∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
1
∴BM＝DE＝ BC，
2
∴BM＝CM， ∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC，故③正确；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
b2a由△BAE∽△ADC，有＝ ，即b＝2 a，
AEAFBCCFabDCb2
∴tan∠CAD＝＝＝ ．故②不正确；
AD2a2
正确的有①③④， 选C．
同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1 、S2 的两部分，将△CDF分成面积为S3 、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ①S1 ：S3 ＝1：n ②S1 ：S4 ＝1：（2n＋1）
③（S1＋S4 ）：（S2＋S3 ）＝1：n ④（S3－S1 ）：（S2－S4 ）＝n：（n＋1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④
D．③④
解：由题意∵AP：PB＝1：n（n＞1），AD∥l∥BC，
S1S31n222∴＝（） ，S3＝nS1 ，＝（） ， S1＋S2n＋1S3＋S4n＋1整理得：S2＝n（n＋2）S1 ，S4＝（2n＋1）S1 ， ∴S1 ：S4 ＝1：（2n＋1），故①错误，②正确，
2∴（S1＋S4 ）：（S2＋S3）＝[S1＋（2n＋1）S1]：[n（n＋2）S1＋nS1]＝1：n，故③正确，
2
∴（S3－S1 ）：（S2－S4）＝[nS1－S1]：[n（n＋2）S1－（2n＋1）S1]＝1：1，故④错误， 选B．
同类题型4.3 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2 DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④
解：∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠GPH＝∠FPD， ∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF＝∠ADP＝45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP＝∠PDF＝45°， 在△HPG和△DPF中， ??∠PHG＝∠PDF∵?PH＝PD， ?∠GPH＝∠FPD?
∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG＝PF；
∵△HPD为等腰直角三角形， ∴HD＝2 DP，HG＝DF，
∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，
∴DG＋DF＝2 DP；故③正确，
22
∵DP﹒DE＝ DH﹒DE，DC＝ DE，
22
∴DP﹒DE＝DH﹒DC，故④正确， 由此即可判断选项D正确， 选D．
例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝ （x＞0）同时经过点B，且点
kxA在点B的左侧，点A的横坐标为2 ，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．
解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM＋∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM＋∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN，
??∠AOM＝∠BAN在△AOM和△BAN中，?∠AMO＝∠BNA，
?OA＝BA?
∴△AOM≌△BAN（AAS）， ∴AM＝BN＝2 ，OM＝AN＝∴OD＝∴B（
k2
，
k22
＋2 ，BD＝
k－2 ，
2
k＋2 ，
k2
－2 ），
∴双曲线y＝ （x＞0）同时经过点A和B， ＋2）﹒（－2 ）＝k，
22
2
整理得：k －2k－4＝0， ∴（
kxkk
解得：k＝1±5 （负值舍去）， ∴k＝1＋5 ．
同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数
191
y＝ 和y＝ 在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y＝ 的图象
xx于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．
x 99
解：∵点B是y＝kx和y＝ 的交点，y＝kx＝ ，
xx解得：x＝
3
k ，y＝3k ，
3
，3gh(k) ），
∴点B坐标为（
k11
点A是y＝kx和y＝ 的交点，y＝kx＝ ，
xx解得：x＝
1
k ，y＝k ，
1
，k ），
∴点A坐标为（∵BD⊥x轴， ∴点C横坐标为
k3
k3
，纵坐标为
1k＝ ， 33
k∴点C坐标为（
k ，
k3
），
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
312k2
①AB＝BC，则(－)＋(3k－k)＝3k－ ，
3kk37
解得：k＝ ；
7②AC＝BC，则解得：k＝
(3
k－12k2k)＋(k－)＝3k－ ，
33k15
； 5
3715故k＝ 或 ．
75
专题02 方程、不等式中的含参问题
例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．
同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则
同类题型1.2 方程组?
（ ）
10
B．m＞
9
19
C．m＞
10
10
D．m＞ 19
?4x＋3m＝2?8x－3y＝mx＋y＋z ＝________．
x－y＋z 的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是
9
A．m＞
10
222
例2．关于x的方程x ＋mx－9＝0和x－3x＋m ＋6m＝0有公共根，则m的值为________．
2
同类题型2.1 已知a是一元二次方程x －2018x＋1＝0的一个根，则代数式
a－2017a＋ 的值是___．
2a＋1
22
同类题型2.2 已知关于x的方程（k－1）x ＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．
23
同类题型2.3 已知α、β是方程x －2x－4＝0的两个实数根，则α ＋8β＋6的值为
11111
例3．已知方程x＋ ＝a＋ 的两根分别为a， ，则方程x＋ ＝a＋ 的根是
xaax－1a－1
（ ） A．a，
1
a－1
B．
11
，a－1 C． ，a－1 a－1aD．a，
（ ）
A．－1
B．2
C．22
D．30
2
2018
aa－1
2x－b同类题型3.1 若关于x的方程 ＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．
x－1
2612
同类题型3.2 观察分析下列方程：①x＋ ＝3；②x＋ ＝5；③x＋ ＝7．请利用它
xxxn＋n们所蕴含的规律，求关于x的方程x＋ ＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是
x－4
_________________．
同类题型3.3 已知关于x的方程2a＋13a－ ＝ 只有整数解，则整数a的值x－1x＋2(x－1)(x＋2)
2
为_____________．
例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论： ①[－x]＝－[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2； ④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解． 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．
同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为 （ ）
A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2 C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号） ①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6； ②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
5
同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜ ，那么关于x的
2不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是____________．
??x＋4＞ x＋1
2同类题型4.4 若关于x的不等式组?3 解集为x＜2，则a的取值范围是
??x－a＜0
___________．
同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．
参考答案
例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．
??3a＋2b＋c＝5
解：由题意可得?2a＋b－3c＝1，
??m＝3a＋b－7c7﹒(m＋2)11﹒(m＋2)m＋2
解得a＝ －3，b＝7－ ，c＝ ，
333由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0， 15∴－≥m≥－ ．
1175所以m_(最小值)＝－ ．
75
故本题答案为：－．
7
同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则解：由题意得：?
?x＋2y－3z＝0①
x＋y＋z ＝________．
x－y＋z?2x＋3y＋5z＝0②
，
①×2－②得y＝11z， 代入①得x＝－19z，
原式＝
x＋y＋z－19z＋11z＋z7
＝＝ ．
x－y＋z－19z－11z＋z29
?4x＋3m＝2?8x－3y＝m同类题型1.2 方程组?9
A．m＞ 10
?4x＋3m＝2①解：?
?8x－3y＝m②
的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（ ）
19
C．m＞
10
10
D．m＞
19
10
B．m＞ 9
2－3m2－3m4－7m由①得x＝ ，代入②得，8× －3y＝m，y＝ ．
4432－3m4－7m10
∵x＞y，即＞ ，解得m＞ ．
4319选D．
222
例2．关于x的方程x ＋mx－9＝0和x－3x＋m ＋6m＝0有公共根，则m的值为________． 解：设这个公共根为α．
222
则方程x ＋mx－9＝0的两根为α、－m－α；方程x－3x＋m ＋6m＝0的两根为α、3－α，
2
由根与系数的关系有：α（－m－α）＝－9，α（3－α）＝m ＋6m， 222
整理得，α ＋mα＝9①，α－3α＋m ＋6m＝0②， 2
②－①得，m ＋6m－3α－mα＝－9， 2
即（m＋3） －α（m＋3）＝0， （m＋3）（m＋3－α）＝0， 所以m＋3＝0或m＋3－α＝0， 解得m＝－3或α＝m＋3， 把α＝m＋3代入①得， 2
（m＋3） ＋m（m＋3）＝9，
m＋6m＋9＋m ＋3m＝9，
m（2m＋9）＝0，
所以m＝0或2m＋9＝0， 解得m＝0或m＝－4.5，
综上所述，m的值为－3，0，－4.5．
2
同类题型2.1 已知a是一元二次方程x －2018x＋1＝0的一个根，则代数式
22
a－2017a＋ 的值是___．
2a＋1
22
解：由题意，把根a代入x －2018x＋1＝0，可得：a －2018a＋1＝0， 22
∴a －2017a－a＋1＝0，a＋1＝2018a； 2
∴a －2017a＝a－1，
2018201812
∴a－2017a＋＝a－1＋＝a＋ －1
22018aaa＋1
2
2018
a＋12018a＝－1＝ －1
aa＝2018－1， ＝2017．
22
同类题型2.2 已知关于x的方程（k－1）x ＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．
22
解：由题意知，k≠±1，△＝（2k－1）－4（k －1）＝5－4k＞0 5
∴k＜ 且k≠±1．
4
23
同类题型2.3 已知α、β是方程x －2x－4＝0的两个实数根，则α ＋8β＋6的值为（ ） A．－1
B．2
C．22
D．30
2
2
解：∵α、β是方程x －2x－4＝0的两个实数根， 2
∴α＋β＝2，α －2α－4＝0， 2
∴α ＝2α＋4
32
∴α＋8β＋6＝α﹒α ＋8β＋6 ＝α﹒（2α＋4）＋8β＋6 2
＝2α ＋4α＋8β＋6 ＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6 ＝8α＋8β＋14
＝8（α＋β）＋14＝30，
故选D．
11111
例3．已知方程x＋ ＝a＋ 的两根分别为a， ，则方程x＋ ＝a＋ 的根是
xaax－1a－1（ ） A．a，
1
a－1
B．
1
，a－1 a－1
1
C． ，a－1
a D．a，
aa－1
解：方程x＋
1111＝a＋ 可以写成x－1＋＝a－1＋ 的形式， x－1a－1x－1a－1
111
∵方程x＋＝a＋ 的两根分别为a， ，
xaa∴方程x－1＋根为x＝a或∴方程x＋选D．
111＝a－1＋ 的两根的关系式为x－1＝a－1，x－1＝ ，即方程的x－1a－1a－1
aa－1
，
11a＝a＋ 的根是a， ． x－1a－1a－1
2x－b同类题型3.1 若关于x的方程 ＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．
x－1解：去分母得，2x－b＝3x－3∴x＝3－b ∵x≥0 ∴3－b≥0 解得，b≤3 又∵x－1≠0 ∴x≠1
即3－b≠1，b≠2
则b的取值范围是b≤3且b≠2．
2612
同类题型3.2 观察分析下列方程：①x＋ ＝3；②x＋ ＝5；③x＋ ＝7．请利用它
xxxn＋n们所蕴含的规律，求关于x的方程x＋ ＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是
x－4
_________________．
1×2
解：x＋ ＝3，解得：x＝2或x＝1；
2
xx＋x＋
2×3
＝5，解得：x＝2或x＝3；
xx3×4
＝7，解得：x＝3或x＝4，
得到规律x＋ ＝m＋n的解为：x＝m或x＝n， 所求方程整理得：x－4＋
mnxn(n＋1)
＝2n＋1， x－4
根据规律得：x－4＝n或x－4＝n＋1，
解得：x＝n＋4或x＝n＋5． 同类题型3.3 已知关于x的方程2a＋13a－ ＝ 只有整数解，则整数a的值x－1x＋2(x－1)(x＋2)
为_____________．
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2）， 得：2（x＋2）－（a＋1）（x－1）＝3a， 2a－53解得：x＝＝－2－ ，
1－a1－a∵方程只有整数解，
∴1－a＝3或1或－3或－1，
当1－a＝3，即a＝－2时，x＝－2－1＝－3， 检验，将x＝－3代入（x－1）（x＋2）＝4≠0，故x＝－3是原分式方程的解； 当1－a＝1，即a＝0时，x＝－2－3＝－5， 检验，将x＝－5代入（x－1）（x＋2）＝18≠0，故x＝－7是原分式方程的解； 当1－a＝－3，即a＝4时，x＝－2＋1＝－1， 检验，将x＝－1代入（x－1）（x＋2）＝－2≠0，故x＝－1是原分式方程的解； 当1－a＝－1，即a＝2时，x＝1， 检验，将x＝1代入（x－1）（x＋2）＝0，故x＝1不是原分式方程的解； ∴整数a的值为：－2，0或4．
例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论： ①[－x]＝－[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2； ④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解． 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．
解：①当x＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x]＝－3，不相等，故原来的说法错误； ②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1是正确的； ③当－1＜x＜0时，[1＋x]＋[1－x]＝0＋1＝1； 当x＝0时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋1＝2； 当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋0＝1；
故当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2是正确的； ④x－[x]的范围为0～1， 4x－2[x]＋5＝0， －5≤2x＜－7，
即－2.5≤x＜－3.5，
x＝－2.75或x＝－3.25都是方程4x－2[x]＋5＝0，故原来的说法错误． 故答案为：②③．
同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（ ） A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2 C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 解：根据题意得：x＞0，
若x≥2，则2x≥4，[x]≥2，3{x}≥6，4（x）≥8，不等式不成立．
故只需分析0＜x＜2时的情形即可，
①0＜x≤0.5时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x≤5.5，不符合不等式；
②当0.5＜x≤1时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x≤3，因此0.5＜x≤1，符合不等式；
③当1＜x＜1.5时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x≤1.5，因此1＜x＜1.5，符合不等式；
④当1.5＜x＜2时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x≤－0.5，不符合不等式．
故原不等式的解集为：0.5＜x＜1.5． 故选C．
同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号） ①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6； ②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点． 解：①当x＝1.7时， [x]＋（x）＋[x）
＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2
＝5，故①错误； ②当x＝－2.1时， [x]＋（x）＋[x）
＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）
＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x]＋3（x）＋[x）＝11， 7[x]＋3＋[x）＝11， 7[x]＋[x）＝8，
1＜x＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x＜1时，
∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，
当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1， 当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，
11
∵y＝4x，则x－1＝4x时，得x＝－ ；x＋1＝4x时，得x＝ ；当x＝0时，y＝4x＝0，
33∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，
故④错误，
故答案为：②③．
5
同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜ ，那么关于x的
2
不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是____________． 5
解：∵关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜ ，
2∴x＜∴
b－2a ， a＋bb－2a5
＝ ，且a＋b＜0， a＋b2
即b＝－3a，a＋b＜0， ∴a－3a＜0，即a＞0， ∴b－a＝－4a＜0，
－a－2b∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥ ，
b－a－a－2b－a＋6a5∵＝＝－ ，
b－a－3a－a4
5∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥－ ．
4
??x＋4＞ x＋1
2同类题型4.4 若关于x的不等式组?3 解集为x＜2，则a的取值范围是
??x－a＜0
___________． 解：由
x＋4x3
＞ ＋1，得
2
2x＋8＞3x＋6， 解得x＜2， 由x－a＜0， 得x＜a，
??x＋4＞x＋1
2又因关于x的不等式组?3解 集为x＜2，
??x－a＜0
所以a≥2．
同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．
解：∵最后输出的数为656， ∴5x＋1＝656，得：x＝131＞0， ∴5x＋1＝131，得：x＝26＞0， ∴5x＋1＝26，得：x＝5＞0， ∴5x＋1＝5，得：x＝0.8＞0；
∴5x＋1＝0.8，得：x＝－0.04＜0，不符合题意， 故x的值可取131，26，5，0.8共4个．
专题03 函数的几何综合问题