【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝ ．

【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，

由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E， ∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，

∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°， ∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°， 又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'， ∴△DB'A'≌△DCA'（AAS）， ∴DC＝DB'， 在Rt△AED中，

第17页（共29页）

∠ADE＝30°，AD＝2， ∴AE＝

＝

，

设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2， ∴（

）2+22＝（x+x﹣

）2，

解得，x1＝故答案为：

（负值舍去），x2＝．

，

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝60°．

17．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝

．

【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决． 【解答】解：

，

解得，或，

∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）， ∴AB＝

＝3

，

作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小， 点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5）， 设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，

第18页（共29页）

，得，

∴直线A′B的函数解析式为y＝x+当x＝0时，y＝

，

），

，

即点P的坐标为（0，

将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1， ∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°， ∴点P到直线AB的距离是：（

﹣1）×sin45°＝

＝

，

∴△PAB的面积是：故答案为：

．

＝，

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 （n，） ．（n为正整数）

第19页（共29页）

【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝

，……，得出P1的坐标为（ 1，），……，得出规律，即可得出结果．

【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示： 在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝同理：A2P2＝∴P1的坐标为（ 1，

＝＝

＝

，A3P3＝

，

＝

，……， ），P3的坐标为（3，

），即（n，

），……， ）

＝

，同理：A2P2＝

，A3P3

），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，

），P2的坐标为（ 2，

…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，故答案为：（n，

）．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．

三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

第20页（共29页）