解三角形知识点总结及典型例题

一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 abc???2RsinAsinBsinC (R为三角形外接圆半径） （）1a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC(边化角公式）（2）sinA?abc(角化边公式） ,sinB?,sinC?2R2R2RasinAasinAbsinB ?,?,?bsinBcsinCcsinC（3）a:b:c?sinA:sinB:sinC(4)2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果sinA?sinB，则B有唯一解；如果sinA?sinB?1，则B有两解； 如果sinB?1，则B有唯一解；如果sinB?1，则B无解. 3、余弦定理及其推论 b2?c2?a2cosA?2222bca?b?c?2bccosAa2?c2?b2222b?a?c?2accosB cosB? 2acc2?a2?b2?2abcosCa2?b2?c2cosC?2ab4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）S?ABC?（2）S?ABC1?底?高； 2111?absinC?bcsinA?casinB（两边夹一角）. 2226、三角形中常用结论 （1）a?b?c,b?c?a,a?c?b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）在?ABC中，A?B?a?b?sinA?sinB(即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC中，A?B?C??，所以sin(A?B)?sinC；cos(A?B)??cosC；tan(A?B)??tanC. sin A?BCA?BC?cos,cos?sin. 2222 1

二、典型例题 题型1 边角互化 [例1 ]在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?3:5:7，则角C的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c?3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7， a2?b2?c232?52?721则cosC===? 2ab2?3?52因为0?C??，所以C?2? 3222222[例2 ] 若a、b、c是?ABC的三边，f(x)?bx?(b?c?a)x?c，则函数f(x)的图象与x轴( ) A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得b?c?a?2bccosA，所以222f(x)?b2x2?2bccosAgx?c2=(bx?ccosA)2?c2?c2cos2A，因为cos2A?1,所以c2?c2cos2A?0，因此f(x)?0恒成立，所以其图像与x轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在?ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A、a?7，b?14，A?30?； C、b?4，c?5，B?30?； 题型3 面积问题 [例4] ?ABC的一个内角为120，并且三边构成公差为4的等差数列，则?ABC的面积为 【解析】设△ABC的三边分别：x?4,x,x?4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：(x?4)?(x?4)?x?2x(x?4)cos120，解得：x?10， ∴?ABC三边分别为6、10、14， 2220B、b?25，c?30，C?150?； D、a?6，b?3，B?60?。 0?SVABC?113absinC??6?10??153. 2222222题型4 判断三角形形状 [例5] 在?ABC中，已知(a?b)?sin(A?B)?(a?b)?sin(A?B),判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：a[sin(A?B)?sin(A?B)]?b[?sin(A?B)?sin(A?B)] 22?2a2cosAsinB?2b2cosBsinA 由正弦定理，即知sinAcosAsinB?sinBcosBsinA 22?sinAsinB(sinAcosA?sinBcosB)?0 ?sin2A?sin2B 由0?2A,2B?2?，得2A?2B或2A???2B, 即?ABC为等腰三角形或直角三角形. 2

方法二：同上可得2acosAsinB?2bcosBsinA 222b2?c2?a22a?c?b?ba由正、余弦定理，即得：ab 2bc2ac222?a2(b2?c2?a2)?b2(a2?c2?b2) 即(a?b)(c?a?b)?0 22222?a?b或c2?a2?b2, 即?ABC为等腰三角形或直角三角形. 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例6]在?ABC中，a,b,c分别为角A.B,C的对边，且sinA?sinC?psinB(p?R)且ac?（1）当p?12b 45,b?1时，求a,c的值； 4（2）若角B为锐角，求p的取值范围。 【解析】（1）由题设并由正弦定理，得a?c?5111,ac?，解得，a?1,c?或a?,c?1 44441212222222（2）由余弦定理，b?a?c?2accosB=(a?c)?2ac?2accosB?pb?b?bcosB 2231322即p??cosB，因为0?cosB?1，所以p?(,2)，由题设知p?0， 222所以6?p?2. 2三、课堂练习： 1、满足A?45?，c?6，a?2的?ABC的个数为m，则am为 . 2、已知a?5,b?53，A?30?，解三角形。 3

3、在?ABC中，已知a?4cm，b?xcm，A?60?，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是( ) A、x?4 B、0?x?4 C、4?x?83 3D、4?x?83 34、在?ABC中，若S? 12(a?b2?c2),则角C? . 4225、设R是?ABC外接圆的半径，且2R(sinA?sinC)?(2a?b)sinB，试求?ABC面积的最大值。 6、在?ABC中，D为边BC上一点，BD?33，sinB? 7、在?ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边，若53，cos?ADC?，求AD. 135acosB?，试确定?ABC形状。 bcosA 4

8、在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知cosA?2cosC2c?a ?cosBbsinC； sinA1（2）若cosB?,b?2,求?ABC的面积。 4（1）求 四、课后作业 1、在?ABC中，若(a?b?c)(b?c?a)?3bc，且sinA?2sinBcosC，则?ABC是 A、等边三角形 C、直角三角形 2、?ABC中若面积S=B、钝角三角形 D、等腰直角三角形 12(a?b2?c2)则角C? 43、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为?，在塔底B处测得点C的俯角为?，若铁塔的高为hm，则清源山的高度为 m。 A、C、hsin?cos? sin(???)hsin?sin? sin(???)B、D、hcos?sin? sin(???)hcos?cos? sin(???)4、?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos B?C取得最大值，并求出这个最大值。 25、在?ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，且满足csinA?acosC （1）求角C的大小 （2）求3sinA?cos(B? ?4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小。 5