小升初专用衔接教材（数学）
目 录
五年级部分
第一章 小数简便运算 ................................................................................. 2 第二章 简易方程 ....................................................................................... 5 第三章 因数与倍数 .................................................................................... 8 第四章 长方体和正方体 ........................................................................... 13 第五章 分数 ............................................................................................ 17 六年级部分
第一章 分数乘法 ....................................................................................................... 23 第二章 分数的除法 ................................................................................................... 34 第三章 圆 ............................................................................................................... 44
第一节 圆的认识 .............................................................................................................. 44 第二节 圆的周长（圆周率.圆的周长公式） ........................................................... 47 第三节 圆的面积（面积公式的推导.面积计算）............................................ 50 第四章 阶段测评 ....................................................................................................... 54
综合测试1 ........................................................................................................... 54 综合测试2 ........................................................................................................... 56 综合测试3 ........................................................................................................... 59
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第一章 小数简便运算
本章知识点 在整数四则运算中学到的运算技巧及运算定律对于小数四则运算同样适用。 下面我们来整理一下整数四则运算中学到的运算定律及运算性质： 交换律： a+b=b+a a×b=b×a 结合律：（a+b)+c=a+(b+c) (a×b)×c=a×(b×c) 分配律： (a+b)×c=a×c+b×c 运算性质： a-b-c-d=a-(b+c+d) a÷b÷c =a÷(b×c) 。 在算式中增加或去掉括号时，要注意：括号前面是“+”，添上或去掉括号不变号；括号前面是“-”，添上或去掉括号要变号。 【例一】：22.36+25.82+77.64-15.82 【例二】：2.5×1.25×0.32 【例三】：0.27÷0.25
【例四】：9.01×23
【例五】：22.8×98+45.6
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【例六】：（2+4+6+……+2004）-（1+3+5+6+……+2003） 练习：
25.13-2.85+74.57-7.15= 23.56-（2.017-0.44）+2.017
16.08×1.25= 0.25×3.53×0.2×16×1.25=
1.28÷0.125= (1.25－0.125)×8=
1998÷（1998÷1999）÷（1999÷2000）÷（2000÷2001）
9.99×5.3= 99×86.2+86.2
（0.75×2.6×2.7）÷（0.13×0.25×9）=
2.17÷0.5÷0.25=
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4.59×25.1+45.8×6.35+0.485×114=
（2+4+6+……+100）-（1+3+5+6+……+97+99）
1-2+3-4+5-6+……-2002+2003
（101+103+105+……199）-（100+102+104+……198）
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第二章 简易方程
【例一】：一个数的2倍加上3，等于这个数加上12，这个数是多少？
【例二】：李明到书店买了4本连环画和3本故事书，一共付了29.7元，连环画每本4.8元，故事书每本多少元？（本题6分）（用两种方法解）
【例三】：爸爸比儿子大36岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
【例四】：北京和上海相距1320km。甲乙两列火车同时从北京和上海相对开出，6小时后两车相遇，甲车每小时行120km，乙车每小时行多少千米？ 解方程： 0.7x+6×5=37 （10 x－25）÷5=15
2X - 7.5 = 8.5 x- 0.7x=4.2
12(x＋3.7)＝144 5x－3×11=42
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7 x-3=4 x+6 3.4 x-9.8=1.4 x+9
（3 x+2）÷4=2 x-7 （4 x+4）÷（x+2）=5 习题：
1、3.5加上x的7倍，和是14，求x。
2、某数的2倍减去1等于这个数加上5 ，求某数。
3、一个数的3.2倍加上4.8等于这个数的5倍减2.4，求这个数。
4、爷爷今年69岁，爷爷的年龄比小明年龄的5倍还大4岁。小明今年几岁？
5、李爷爷家养羊284只，其中大羊的只数是小羊只数的3倍。大羊和小羊各有多少只？
6、小明和小红相距2100米。已知他们相对出发，3分钟后相遇，已知小明每分
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钟走400米，那么小红每分钟走多少米？
7、食品公司新进了一批色拉油共100桶，大桶每只可装5千克，小桶每只可装油3千克，已知大小油桶共装油360千克，问大、小油桶各多少个？
8、王师傅买了8千克苹果和2千克荔枝，共用去26元，已知1千克荔枝的价钱是1千克苹果的2.5倍，王师傅买苹果和荔枝各用去多少元？
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第三章 因数与倍数
本章知识点 1.因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 4、2、5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 6、质数和和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数），最小的质数是2。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数，最小的合数是4。 练一练 分解质因数专题分析： 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。
【例1】 有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，有哪几种分法？
【例2】195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分法？
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【例3】早晨，五（1）班同学们排队做操，7人一排，8人一排都没有剩余。五（1）班最少有多少人？
【例4】小红说：“一个数既是45的因数又是3的倍数，它一定是9”，你认为她说得对吗？还可能是几呢？
【例5】五年级学生参加植树活动，人数在30～50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
【例6】、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
【例7】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99
【例8】、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
【例9】、24的全部因数共有多少个？180的全部因数共有多少个？
【例10】、把一张长72厘米，宽48厘米的长方体纸，裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要使正方形的边长尽可能大，可以分成多少个正方形？ 解析：要把长方形纸裁成相等的小正方形而没有剩余，长方形的长和宽必须是小正方形边长的倍数，即
正方形的边长是长方形长和宽的公因数。要使小正方形尽可能大，边长取长方形长和宽的最大公因数即可。因为（72,48）=24，所以小正方形的边长最大 是24厘米。（72÷24）×（48÷24）=6个。
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练习：
1、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？
3、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少？
4、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。
5、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。求有多少个同学？
6、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？
7、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个？
8、360的全部因数共有多少个？2004的全部因数共有多少个？
9、把一张长60厘米、宽48厘米的长方形纸，裁成若干个相等的 小正方形而没有剩余，小正方形的面积最大是多少？
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10、有两根钢管，长度分别为2.4米和4.2米。如果把它们截成同样长的小段而没有剩余，要使每小段尽可能长，一共可以 截成多少段？
最小公倍数专题分析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。记住以下公式：最大公因数×最小公倍数＝这两个数的积。 【例1】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90。求这两个数分别是多少？
【例2】：甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去1次，乙4天去1次，丙5天去1次。有一天三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们又在图书馆相会？
【例3】、一个大于10的自然数，被16除和被20除的余数都是8，这个数最小是多少？
解析：这个数减去8，就正好能被16和20整除，因此就是16和20的公倍数。因为【16,20】=80，所以这个数最小是80+8=88.
【例4】、用长9厘米、宽8厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少个？
解析：正方体棱长应该是长方体的长、宽、高的 公倍数，要求至少要用多少块？也就是要
使正方体的棱长正好是长方体的长、宽、高的最小公倍数。因为【9,6,4】=36，所以正方体的棱长最小是36厘米。（36÷9）×（36÷6）×（36÷4）=216块。
练习：
1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90。求这两个数分别是多少？
2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60。求这两个数的和是多少？
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3、两个数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144。求这两个数分别是多少？
4、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三路车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车？
5、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？
6、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。二班的同学每隔6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷
7、一盒棋子，无论是9个一堆，还是12个一堆，最后都多出2个，这盒棋子至少有多少个？
8、有一批砖，长45厘米，宽27厘米，至少要用这样的砖多少块，才能铺成一个实心的正方形？
9、1.五年级学生参加植树活动，人数爱30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
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第四章 长方体和正方体
知识点1 1、长方体和正方体的特征 长方体：有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱平行且相等；有8个顶点。 正方形：有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同；有12条棱，所有的棱都相等；有8个顶点。 2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3、长方体的棱长总和=（长＋宽＋高）×4 正方体的棱长总和=棱长×12 知识点2 1、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=（ab＋ah＋bh）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：S=6a2 3、表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米 知识点3 1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：V=abh 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V= a3 3、体积单位：立方厘米、立方分米和立方米 4、长方体和正方体的体积统一公式：体积=底面积×高 V=Sh 5、体积单位的互化：把高级单位化成低级单位，用高级单位数乘以进率；把低级单位聚成高级单位，用低级单位数除以进率。
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1、 将表面积为54cm，96cm，150cm的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体
（不计损耗）。求这个大正方体的体积。
2、 把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正
方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高？
3、 一个由砖砌成的长方体鱼池，从里面量长10分米，宽4分米，高6分米，
鱼池的水面高度为4分米。现投入一石块，石块完全浸没在水中，水面高度上升到5.5分米。石块的体积是多少？
4、 有一个棱长为4cm的正方体，从它的右上方截去一个棱长分别为4cm，2cm，
1cm的长方体（如下图），求剩下部分的面积。
222 5、 把3块棱长为2厘米的小正方体木块拼成一个长方体，长方体的面积比原来3个正方体的表面积总和减少多少？
6、 两块长10厘米，宽8厘米、高6厘米的长方体木块拼成一个大的长方体，
表面积最多减少多少？最少减少多少？
7、 把3个长5厘米，宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼成一个表面积最大的
长方体，拼成的这个长方体的表面积是多少平方厘米？
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8、把一个长方体的小木块截成两段， 就成了两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的面积是多少平方厘米？
9、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？
10、在棱长为10厘米的正方体玻璃缸内装满水，然后将这些水倒入长20厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸内，这个玻璃缸内水深多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
11、用6块如图所示的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？
12、将一个边长为3厘米的正方体的表面刷上红漆，然后将这个正方体切割成棱长为1厘米的小正方体，则任何一面都没有被刷的小正方体有多少个？
13、将一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体的表面刷上红漆，然后将这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体，则任何一面都没有被刷的小正方体有多少个？
14、一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的表面积是多少平方厘米？
15、有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156厘米，并且长、宽、高都
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是质数，这个长方体的体积是多少？
16、现有一张长40厘米的，宽20厘米的长方形铁皮，裁剪成如图的深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒的用了多少的铁皮，铁皮盒的容积是多少立方厘米？
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第五章 分数
知识点1 1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分a母，用字母表示：a÷b=b （b≠0）。 4、真分数和假分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。 5、假分数与带分数的互化：把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。 6、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 7、分数的大小比较：同分母的分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；同分子的分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 8、分数和小数的互化：小数化分数，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；分数化小数，用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位 知识点2 1、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
2、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。
3、特殊情况下的最大公因数和最小公倍数：
①成倍数关系的两个数，最大公因数就是较小的数，最小公倍数就是较大的数。②互质的两个数，最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。
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知识点3 1、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。 两个数互质的特殊判断方法： ①1和任何大于1的自然数互质。 ②2和任何奇数都是互质数。 ③相邻的两个自然数是互质数。 ④相邻的两个奇数互质。 ⑤不相同的两个质数互质。 ⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。 裂项法（一） 同学们知道,在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 例如111??，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把3412这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11n?1n???nn?1n(n?1)nn(? n?1?n1??n(n?1)n(n?1)111?? nn?1n(n?1)111??
n(n?1)nn?1 1) 即 或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
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【例1】. 计算：
1111 ???……?1985?19861986?19871987?19881994?1995?111 ??1995?19961996?19971997
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 【课堂随练】 求
【例2】. 计算：?111的和。 ??......?10?1111?1259?601111 ??…?11?21?2?31?2?3?…?100
【例3】. 请在（ ）、< >里填上适当的自然数，使得算式111??成立 6()?? 【例4】.
11111???…?? 1?33?55?71993?19951995?199711111????【课堂随练】计算5?77?99?1111?1313?15
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【例5】. 计算：
11111 ????…?22?32?3?42?3?4?52?3?4?…?200
练习
１.111?11?2?2?3?3?4?49?50=_________；
2. 计算：1111111111113?6?10?15?21?28?36?45?55?66?78?91?1105?1120 3．111?3?13?5?15?7??99?101=_________；
４. 求和：11113?3?4?3?4?5?3?4?5?6?…?13?4?5?…?20
５. 求和：110?31?51?71?914088154238?1111340
作业
1. 计算：
11?2?12?3?13?4?…?198?99?199?100
20
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２. 1?1111?2?1?2?3?1?2?3?4??11?2?3?4??50=_________；
３. 求出一对自然数ｘ与ｙ，使得等式
118?1x?1y成立。
４.111?4?4?7?17?10??149?52=_________；
裂项法（二） 1】 求22221?3?3?5?5?7?......?97?99的和
2】 计算：
41?3?5?43?5?7?......?493?95?97?495?97?99
3】 计算：
31?2?3?4?32?3?4?5?......?317?18?19?20
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【例【例【例小升初专用衔接教材（数学）
练习
1. 111?2?3?2?3?4?……?198??99100 2.111?3?5?2?4?6?13?5?7??120?22?24=_________
3.12342?2?3?2?3?4?2?3?4?5??92?3?4?10=_________
4.计算：??111?8?124?48?80?1120?1168?1?224???64
作 业
1.111?2?3?2??1??13?43?4?519?20?21=_________；
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2.1111?3?5?3?5?7?5?7?9??119?21?23=_________；
3．42×(1?124?1848?180?1120?1168)=
4．计算：1?316?5112?711111120?930?1142?1356?1572?1790
1115.计算：1?2?3?4?2?3?4?5?......?17?18?19?20
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六年级知识
第一章 分数乘法
知识点1 1.分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数和的简便运算，只是相同加数变成了分数。 2.分数乘整数，分母不变，只把分子和整数相乘得到的积作分子，结果是假分数的化成整数或带分数。 3.计算分数乘整数时，能约分的要将分母和整数约分。计算的结构，能约分的一定要约分。 例题：计算 1. 54×8 2. ×6 69 分析：上面两题是分数乘整数，注意用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变，先约分，后计算。 55202?6 解：1. ?8??8?63 633442 82?6??6??2 93393 4 2. 练一练 一.填空题 1.一个分数乘整数的意义，就是求（ ）的（ ）。
11112.???? （ ）×（ ）。 555513.?6表示（ ）。 514. 5个是多少？列式是（ ）。
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5.给一块边长为38米的正方形布贴画镶上边框，需装饰条（ ）米。
6.
22223?3?3??3?（ ）×（ ）=（ ）
。 2007个23二.计算题
27?2= 45?1= 16?2= 310?5= 5311?2= 5?0= 313?13= 311?33= 38?42= 712?4= 154?4= 35?15= 12?14?18?111116?32?64?64= 三.判断题 1.49 ?5=49?5=445 （ ） 2.314?314?314?333314?14?14=14 （ ） 3.115?5?15?15=15?4=45 （ ） 4.310?3=310?310?310 （ ） 四.列式计算
1. 5个56是多少？
2. 215的4倍是多少？
3. 3个16是多少？
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五.应用题
1.一个长方形的宽是
2. 一种花生每千克含油呢？
3.一辆汽车每分钟行 知识点2 4分米，长是宽的3倍，长是多少分米？ 52千克，100千克这样的花生含油多少千克？1吨花生54千米，这辆汽车每销售行驶多少千米？ 31.一个数乘分数实际上包括整数乘分数、分数乘分数两种情况。但他们的意义都可以概括为求一个数的几分之几是多少，这是整数乘法意义的扩展。 2.整数乘分数和分数乘整数在计算方法上相同，计算时把整数看成分母是1的假分数进行计算。 3.分数乘分数的计算方法：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。 4.为了使计算简便，也可以先约分再相乘，结果是假分数的要化成整数或带分数。 例题1：在○里填上“>”或“<”。 353? ○ 747分析：当两个因数都不是0时，一个因数小于1时，积比另一个因数小。一个因数大于1时，积比另一个因数大。
353解：?>
747例题2：计算：
1325? 1526分析：此题可以根据分数乘分数的计算法则，严格按照分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母，然后再约分。但乘的过程和约分的过程很麻烦。可以改
26
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变顺序，先约分再相乘。
解：1325131 15?26=15? 25 5 ?5 3 26 2
6 练一练 一.说出下面各式表示的意义 1. 34?13表示（ ） 2.
58?28表示 （ ） 二.判断题 1. 10个12千克是5千克。（ ） 2. 表示a个1b（b是不等于0的数）是多少?列式是1b?a。（ ） 3. 5千克的34和3千克的54一样多。（ ） 三.在○里填上“>”“<”或“=” 54?1○1?5554 9?0○9?0 5?1○5?19 557?0○7?1 34?25○25 6?223○10?5 四.列式计算 1. 12的35是多少？
2. 16个14是多少？
27
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513. 24的的是多少？
65
五.应用题
311.一块地的面积为公顷，已耕完它的，耕了多少公顷？
42
2.一根绳子长8米，用了它的一半后，又用了 1米，这根绳子还剩下多少米？ 223.五年级二班共有学生50人，其中男生占。女生有多少人？ 5 知识点3 分数乘法与加减法混合运算顺序与整数的运算顺序是相同的。 计算分数乘加.乘减混合运算时，先算乘法，再算加或减法。 例题：用简便方法计算下列各题。 1. 30×（3.
37141525?） 2. 2????? 10152153252435555?? 4. ?4??3? 584888分析：整数乘法的运算律对于分数乘法也适用，1，2，4题可正、反向应用乘法分配律，3题可以应用乘法的交换律和结合律。 解：1. 30×（
37141525?） 2. 2????? 10152153252
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=30?37541?30? =?(?)?1 101521533=9+14 =?1
21=23 =2
23.
435555?? 4. ?4??3? 5848881 1 3455=?(?) =?(4?3?1) 85481 1 3= =5 8 练一练 一.填空 1.在括号里填上合适的数 111时=（ ）分 吨=（ ）千克 平方米=（ ）平方分米 35102. 2111，应用了（ ）定律。 ????（ + ）×（ ）=（ ）33333.计算分数加法、减法、乘法的混合运算时，运算顺序是（ ）。 二.计算 3121111. (?)? 2. ?97??2? 523222
1351371?137?3.?? 4. 139?
456138138
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知识点4 求一个数的几分之几是多少的问题可能有两种情况，一种是只涉及一个数量，求它的一部分是多少?另一种涉及两个数量，求等于一个数量的几分之几的另一个数量是多少。
3例题1：一块画布5平方米，王老师作画用了5，王老师用了多少平方米画布？
3分析：求“王老师用了多少平方米的画布”，就是求“5的平方米”的5，求一个数的几分3之几是多少的问题用乘法解决。即5×5=3。 3解：5×= 3（平方米） 5答：王老师用了3平方米的画布。 例题2：修一段长300米的路，已修了全长的下多少米没有修？ 2，还剩下几分之几没有修？还剩52是把全长看做单位“1”，把这段路的全长平均分成5份。已修了2份，533还剩3份，也就是剩下。求剩下多少米没有修，就是求300米的是多少没有修。也可55解析：已修了全长以理解为把300米平均分成5份，取3份是多少。 解：（1）求剩下几分之几没有修。 1?23? 55（2）求剩下多少前面没有修。
2300?(1?)=180（米）
53答：还剩没有修，还剩180米没有修。
5
30
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练一练 一.填空题
81.六（1）班有45名学生，体育达标人数占全班人数的。题中把（ ）
9看作单位“1”，要求达标人数，就是求（ ）的（ ），用（ ）法计算。
2.爸爸的年龄是儿子年龄的3倍，则把（ ）看做单位“1”。
2，是把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）3份，已修的占其中的（ ）份。 3.一条路已修了
4.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行56千米，求求（ ），算式是（ ）。 二.看图列算式并计算 1.
180千米 3小时行了多少千米，就是4 2.
甲 乙
120吨 ?千米 ？吨
三.解决问题
31.一堆煤有4吨，运走了。运走了多少吨？
5
31
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2.每千克花生仁可以榨油
4千克，360千克花生仁可以榨油多少千克？ 9113.一根铁丝长90米，第一次用去全长的，第二次用去第一次的，第二次用
62了多少米? 知识点5 1.乘积是1的两个数互为倒数。 173如：?2?1 ??1 237173就是说与2互为倒数，与互为倒数。 2372.把一个数（0除外）的分子.分母交换位置，所得的新数就是原来的倒数。 3. 1个倒数是它本身，也为1。 4. 0没有倒数。 5.倒数的算法 （1）求真分数、假分数的倒数。如
38 分子、分母 调换位置 83（2）求带分数的倒数。如：
21434 化成假分数 分子、分母调换位置 3314（3）求小时的倒数。如 0.9 化成分数
910 分子、分母调换位置 10932
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（4）求自然数的倒数。如 7 改写成假分数 71 分子、分母调换位置 17例题：求下列各数的倒数。
571 16 4.37 5 0.2 54
72427715和可以直接调换分子、分母的位置；4和16必须先化成假分数，再调换分子、分母的24277位置；4.375和0.25必须先化成分数，再求倒数。
分析：
53357解：4=，则4的倒数为 77733724的倒数为 24716=161，则16的倒数为； 11633584.375=4?，则4.375的倒数为； 8835
一.填空题 1.乘积是1的两个数（ ）。 2.最小合数的倒数与8的积是（ ）。 3.真分数A的倒数一定是（ ）。 323234.因为?=1，所以和互为（ ）。 3232二.求下面各数的倒数
2512 3.5 1 (a?1 ) 3 119a9
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第二章 分数的除法
知识点1 分数除以整数
1.分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因素，求另一个因素的运算。
2.一个数除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
例题1：我们来看下面的问题
?
1（1）每人吃快月饼，6个人一共吃几块月饼？ 3（2）两块月饼，平均分给6个人，每人分得几块？ 1（3）两块月饼，平均分给没人快，可以分个几人? 311分析：（1）题中一个月饼有3个块，二个月饼就有（2×3）个块。（2）题也
33就是把2块月饼平均分成6份，求每份是多少。已知两个因数的积是2，其中的
1一个因数是6，求另一个因数。（3）题中把2块月饼平均分成若干份，每份是
31块。已知两个因数的积是2，其中一个因数是，求另一个因数。
31解：（1）×6=2（块）
31（2）2÷6=（块）
3
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1（3）2÷=6（人）
38例题2：把米铁丝平均分成2段，每段长多少米？
98米 9
？米
？米
81分析：把米铁丝平均分成2段，就是把8个米平均分成2份，每份是（8÷2），
99144个米，就是米。 998814解：÷2=×=（米） 9929 一.填空 1.
36×4=，写成两道除法算式分别是（ ）和（ ）。
714552.?7??（ ）=（ ）。 883.（ ）的4倍是47；是（ ）的2倍。 9834.一个平行四边形的面积是平方米，它的底是3米，它的高是（ ）米。
8二.计算 351?2 ?5 ?4 8661143?22 1?9 ?12 1857
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知识点2 一个数除以分数
一个数除以分数包括整数除以分数和分数除以分数两种情况，不论哪种情况，计算时都要把除以分数转化为乘以这个分数的倒数。
1233例题1：王明小时走了千米，李刚小时走了千米。谁走的快些?
5384分析：先求出他们每小时各走的千米数，再进行比较。
212103333解：???5?（千米） ???2?（千米） 35334848因为10千米 > 2千米，所以王明走得快些。 3例题2：在○里填上“>”“<”或“=”。 5659913?○3 ○?1 7771111322211136?○ ?1○? 3335354分析：在分数除法里，除数比“1”大，则商要小于被除数，除数比“1”小，则商要大于被除数。在分数乘法里与除法正好相反，乘以一个比“1”大的数，则积变大，乘以一个比“1”小的数，则积变小。 56565659911例如：3?○3 中除数<1，所以3?>3；○?1中1>1，所
777777711113399122222221113以>?1；6?○中6>1，所以6?>；?1○?中111133333333535411131113?1=?，所以?1=?。 535453545659912221113解：3?>3 ，>?1，6?>，?1=?
777111133335354
一.填空题
1.甲数除以乙数（0除外），等于甲数（ ）乙数的（ ）。
()219272.的是，与（ ）的积是。
()326416
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3.在下面的括号内填上适当的分数。
15平方厘米=（ ）平方分米 125米=（ ）千米 300千克=（ ）吨 36分=（ ）时
4.34是3338的（ ）倍，8是4的（ ）。 二.判断
1.一个数除以分数，所得的商一定大于这个数。（ ）
2. 3米的12和12的3倍一样多。（ ）
3.甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。（ ） 4.一个数除以110，这个数就扩大了10倍。（ ） 5.38除以它的倒数，商是1。（ ） 三.在下面的○里填上“>”.“<”或“=” 12?34○12 78?7○78 558?1○8 12?45○12 6?78○6?78 12?54○12 58?53○58 14?15○15?14 四.计算题 425?25 7527912?6 64?16
23?211275 3?4 5?8
五.解方程
37
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x?8?
814 7?x? 1515x?15?
3013 7x?? 3135知识点3 解决问题 已知一个数的几分之几是多少求这个数，是求一个数的几分之几是多少的逆运算。 2例题1：学校有故事书320本，占图书总数的。全校有图书多少本？ 5分析：分数乘法应用题中强调分析题中的数量关系，找出单位“1”，找准与单位“1”相比较的对应量，然后再看是求单位“1”还是求对应量，不管求单位“1”，还是求对应量，都要满足“求一个数的几分之几是多少”，用乘法来列式。2用一个数乘几分之几就是对应量。本题中的故事书占图书总数的，也就是说图522书总数的是故事书，用图书总数×=故事书，图书总数看作单位“1”，但未55知，就可以设为x本。列方程解。 解：设全校有图书x本。
x×
2=320 52 55 2x=320÷x=320×x=800
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答：全校有图书800本。
135例题2：一部插秧机小时插秧公顷，照这样计算，小时可以插秧多少公顷？
446分析 ：可以先求出每小时插秧的公顷数，根据题意可得：
31÷，再用每小时445插秧的公顷数乘小时即为所求。
6315解：??
4461 1 35??4? 41 62 ?5（公顷） 255答：这部插秧机小时可以插秧公顷。 62
一.填空题 31.甲的等于乙。单位“1”是（ ），等量关系是（ ）。 572.乙的相当于甲，单位“1”是（ ），等量关系（ ）。 833.一桶油的是10千克，单位“1”是（ ），列方程是（ ）。
814.一根绳子用去正好是3米，单位“1”是（ ），列方程是（ ）。
45.第二次运走了余下化肥的二.选择题
1.打字员打一份稿件，已打了72页，占这份稿件总页数的列式是（ ）
4，单位“1”是（ ）。 56，这份稿件多少页？7666A.72? B.72? C.?72
77722.桃树棵树的与梨树棵树相等，应该把 看作单位“1”。（ ）
7
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A.桃树棵树 B.梨树棵树 C.桃树和梨树的总棵树 3.一辆汽车行了全程的（ ）
2，正好是60千米，全程是多少千米？列式正确的是3222A.60? B.60? C.?60
3334，五年级有320人，六年级有多少人？用4.五年就的学生人数是六年级人数的
5方程解，设六年级有x人，列方程正确的是（ ） A.45x?320 B.x?320?45 C.x?320?45 三.看图列式计算 1.
2.
四.解决问题
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1.一个运输队要运80吨货。第一天运了总数的
2，还剩下多少吨没有运？ 32.商店运来被单300条，运来的毛巾条数是被单的巾多少条？ 55，是枕巾条数的，运来枕4821是雪松，是香樟，如果种300棵香樟，那54么雪松种多少棵？还能种其他的树吗？还能种多少棵？ 3.绿化队街道两旁植树，总棵数的 知识点4 比和比的应用 1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2.任何相关的两个数量的比都可以抽象为两个数的比，在整个数中求一个数是另一个数的几倍，在分数中求一个数是另一个数的几分之几。出现比以后就把这两种量统一起来，都是叫做一个数和另一个数的比。 3.比的基本性质：比的前项和后项同时除以相同的数（0除外），比值不变。 4. 把一个量按照一定的比来进行分配的分配方法叫做按比例分配。 例题1：求下列各比的比值。
128: 1.25: 2 :2 0.3:0. 46951231212193:?????，所以:的比值是。
69469696241.25:2=1.25?2?0.625，所以1.25:2的比值是0.625
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88484:2=?2?，所以:2的比值是。
555550.3:0.4=0.3?0.4?0.75，所以0.3:0.4的比值是0.75。
例题2：一个三角形三条边的长度比是3：5：4，这个三角形的周长是72厘米，
三条边的长度分别是多少厘米？
分析：三边的长度的比是3：5：4，说明把这个三角形三条边总和平均分成
3543+5+4=12份，也就是三条边的长度分别占周长的..。
121212解：3+5+4=12 72×354=18（厘米） 72×=30（厘米） 72×=24（厘米） 121212答：三角形三边长分别是18厘米，30厘米，24厘米。 练一练 一.填空题 1.两个数相除又叫做两个数的（ ）。“：”是比号，读作（ ）。
2.比号前面的数叫做比的（ ），比号后面的数叫做比的（ ）。比的前项除以后项所得的商，叫做（ ）。 3.比和除法比较，比的（ ）相当于除法的被除数，比的（ ）相当于除法的除数，比值相当于（ ）。 4.一个长方形的长是宽的 3倍，长和宽的比是（ ）: （ ）。 25.六年级五班学生共有60人，男、女生人数的比是2：3，六年级五班男生有（ ）人，女生有（ ）人。
6.一个长方体棱长的和为144，长、宽、高的比为5：4：3，它的体积是（ ）。 7.修一条路，已经修了80米，还剩260米，再修（ ）米，剩下的与已修的比为1：2。
8.甲、乙、丙三人共同去银行存款，他们所存钱数的比是5：2：1，已知丙和乙二人共存款870元，甲存（ ）元。 二.求比值
8:
31 6.5 ：1.5 2.4 ：
4342
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1.44 ： 1.2 1.8：4.8 2：0.25
3352: :
43204三.解决问题
54亿平方千米，海洋面积约是3亿平方千米。写出陆地35面积和海洋面积的比，并化简。 1.地球上陆地面积约是
2.一份稿件，甲打字员5小时打完，乙打字员6小时打完，写出甲、乙工作时间的比，再写出甲、乙工作效率的比。
3.三个数的平均数是3.6，三个数的比是1：3：5，这三个数中最小的数是多少？
4.植树节学校植树450棵，四年级植了100棵，五、六念旧植树的比是3 ： 4，六年级指数多少棵？
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第三章 圆
第一节 圆的认识
知识点1 知识点1：对比圆形与其他图形 1.圆形没有角，三角形、正方形、长方形等都有角。 2.圆的边都是弯曲的，正方形、长方形等图形的边都是直角，圆是曲线图形。 3.圆是曲线图形，圆上任意一点到中心的距离都相等。 观看下面的图形： 练一练 拿一根细绳，一端栓在铅笔上，另一端固定在纸上，你能画出一个圆吗？ 知识点2 圆的画法 1.拿一根绳，一端栓着笔，另一端固定在纸上。一端固定后，将线拉直画一圈就得到一个圆。 2.利用圆规画一个圆，把圆规的针尖固定在纸上，另一端旋转一周就画出一个圆。 知识归纳：
1.固定的这个点叫做圆心，通常用字母O表示。 2.从圆心到圆上任意一点的距离叫做半径，通常 用字母r表示如右图中的OA。经过圆心且两端 都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示， 如右图中的BC。 BA r r O d d O A C 44 小升初专用衔接教材（数学）
练一练 1.判断两条半径一定能组成一条直径。（ ） 2.填空：圆规两脚之间的距离是圆的（ ）。 3.画出下图中圆的半径和直径。 ·
例题：画一个半径为0.8厘米的圆，并标出圆心.半径和直径。 分析：先确定圆心的位置，再确定半径，最后用圆规画一圈就得到一个圆。 解答：①确定圆心，固定在纸上。 ②将圆规的两脚之间分开0.8厘米，确定半径。 ③画一圈就成了一个圆，如下图所示。 A r BA d C
知识拓展：1.在同一个圆中，有无数条半径.无数条直径。 2.在同一个圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 例题:判断：两端都在圆上的线段叫做直径。 分析:如右图所示，线段AB，CD两端都在圆上， A 但都没有经过圆心，只有经过圆心且两端都在圆 C · 上的线段叫做直径，所以两端都在圆上的线 段叫做直径是错误的。
解答：×
注意：只有过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。 练一练
B D
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判断
1.所有圆的半径都相等。（ ） 2.圆的直径决定圆的大小。（ ）
知识点3 同圆中半径与直径的关系，圆的轴对称性 1.圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的轴对称，圆有无数条对称轴。 2.在同一个圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍或者半径的长度是直径的1d，用字母公式表示为d=2r或r=。 22 练一练 1.填空 （1）正方形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴，圆有（ ）对称轴。 （2）圆的半径扩大4倍，直径扩大（ ）倍。 2.填表 半径（厘米） 直径（厘米） 3.判断 （1）如果两个圆的直径相等，那么这两个圆的半径也一定相等。（ ） （2）若一个圆的直径缩小到原来的例题：看图填空
11，则这个圆的半径也缩小到原来的。（ ） 42 3 10 3.14 0.72 10.03 （1）已知长方形的宽是0.9厘米，
那么圆的半径是（ ）厘米，圆的直径是（ ）厘米。
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（2）已知圆的半径是0.9厘米，那么正方形的变成 是（ ）厘米。
分析：（１）已知长方形的宽是0.9厘米，根据在同一个圆中所有的半径都相等可知半径为0.9厘米，直径是半径的两倍，所以直径是1.8厘米。（2）已知半径为0.9厘米，所以直径为1.8厘米，这样正方形的边长为1.8厘米。
解答：（１）0.9 1.8 （２）1.8 例题：判断：圆的直径的长度是半径的2倍。
分析：因为在同一个圆或等圆中，直径才是半径的2倍，在不同大小的圆中，不容易判断半径与直径的关系，所以必须是在同一个圆或等圆中直径才是半径的2倍。
解答：× 注意：要深刻理解半径与直径的关系：在同圆或等圆中直径的长度是半径的21倍，半径的长度是直径的。 2第二节 圆的周长（圆周率.圆的周长公式） 知识点1 圆的周长的意义及测量圆周长的方法 1.圆的周长的意义 圆的周长是围成圆的曲线的长度。 2.测量圆周长的方法 由于圆的周长是围成的曲线的长度，不易于用直尺去测量，所以要想办法转化成能用直尺测量。 （1）滚动法：将圆上一点对准零刻度，然后让圆滚动一周，圆上这点在直尺上显示的长度就是圆的周长。 （2）绳测法：将线绕圆一周，从一点开始，再到这一点，多余部分剪掉，拉直，然后测出绳的长度，这就是圆的周长。（注：绳测时，要把绳拉紧） 练一练
请用彩色笔描出下面图形的周长。
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知识点2 圆周率 1.引导
长方形的周长与长方形的长和宽有关。
正方形的周长和正方形的边长有关，周长是边长的4倍。 三角形的周长与三条边的长度有关。 思考：圆的周长与什么有关？有什么关系？ 请同学们多次测量不同圆的周长，并计算圆的周长与其直径的比值。你会从中发现什么？ 2.揭示圆周率 借助表格，分析周长与直径的关系。如下表（厘米） 圆的周长 圆的直径 周长除以直径的商 （结果保留两位小数） 6.30 9.52 12.55 2 3 4 3.15 3.17 3.14 根据表中数据，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，在小学阶段我们计算时通常取3.14。 知识归纳:圆周率是圆的周长除以直径的商，它是一个固定的数，用字母π表示。 它是一个物料不循环小数，我们计算时通常去3.14。
知识点3 圆的周长的计算公式 1.圆的周长等于圆周率乘直径
2.用字母C表示圆的周长，则圆周长的计算公式为C=πd或C=2πr。
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例题1：圆的直径为4厘米，它的周长是多少厘米？
分析：根据圆的周长除以直径的商为圆周率，得出圆的周长的计算方法为用直径乘圆周率。
解：C=πd=4?3.14=12.56（厘米） 练一练 1.圆的半径为4厘米，它的周长是多少厘米？
2.有一个圆形的花坛，它的周长是62.8米，它的直径是多少米？
3.一辆自行车的车轮半径为30厘米，如果这辆自行车经过一条980米长的街道，车轮需要转多少周？
例题2：运动场的跑道如下图所示，它一周的长度是多少米？（得数保留整数）
分析：想要知道跑道一周的长度，需要知道长方形两条长边的长度和两个半圆周的长度。两个半圆周的长度即一个整圆的周长，再加上长方形的两条边长就是这个图形一周的长度。
解：100?2+2?3.14?31.85=200+200.018≈400（米）
注意：求有关圆的周长类型的应用题，要观察周长所包含的每一部分，再根据有关的周长计算方法进行解答。
例题3：如右图所示的是半径为2厘米的半圆，求这个半圆的周长。错误解答：半圆的周长是2πr?2=πr=3.14?2=6.28（厘米）
分析：此题求半圆的周长，列式只是求出整个圆的周长的一半，而忽略了围成半圆的直径所以此题列式错误。
正确解答：3.14?2+2?2=6.28+4=10.28（厘米）
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小升初专用衔接教材（数学）
注:求半圆的周长分两部分，先求出整个圆的周长的一半，再求一条直径的长度，加在一起就是半圆的周长。 练一练 1.小强的爸爸靠着墙用篱笆围成一个半圆形的花坛，半径是3米，爸爸需要多少米长的篱笆？
2.一根铁丝可以围成一个边长为6.28分米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，那么这个圆的直径是多少分米？ 第三节 圆的面积（面积公式的推导.面积计算） 知识点1 圆面积公式的推导 1.化曲为直 （1）把圆形纸片平均分成8份，观察其中每一份的图形。
（2）如下图所示，把圆平均分成16份，观察其中每一份的图形。
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