（1）求证：A1E?平面BCDE； （2）求二面角E?A1D?B的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP?平面A1BD？若存在，求说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）
BP的值；若不存在，BD121；（3）.
47【解析】(1)由DE?AB，可得BE?DE，结合A1D?BE可得到BE?平面A1DE，由此得
A1E?BE，结合A1E?DE利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以E为原点，分别以EB，
建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面A1BDED，EA1为x，y，z轴，
uuuv的法向量，结合平面A1DE的法向量为EB，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）假设
在线段BD上存在一点P满足条件，设出点P的坐标，结合对应的比例关系，通过两平面法向量的数量积为零来确定相应的参数值，进而得以确定存在性问题. 【详解】
（1）因为A1D?BE，DE?BE，A1D?BE?D， 所以BE?平面A1DE， 因为A1E?平面A1DE， 所以A1E?BE，
又因为A1E?DE，BE?DE?E， 所以A1E?平面BCDE.
（2）以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,
则B?1,0,0?，D0,3,0，A1?0,0,1?，
uuuvuuuv所以BA1???1,0,1?，BD??1,3,0，
????v设平面A1BD的法向量n??x,y,z?，
uuuvv???n?BA1??x?z?0?x?zv由?vuuu得?，
x?3y???n?BD??x?3y?0?v令y?1，得n??3,1,3，
?因为BE?平面A1DE，
uuuv所以平面A1DE的法向量EB??1,0,0?， vvuuuuuuvn?EB321vcosn,EB?vuuu?v?，
77n?EB因为所求二面角为锐角， 所以二面角E?A1D?B的余弦值为
21. 7（3）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP?平面A1BD，
uuuvuuuv设P?x,y,z?，BP??BD?0???1?，则?x?1,y,z????1,3,0，
??所以P1??,3?,0，
uuuvuuuvEP?1??,3?,0， 所以EA1??0,0,1?，
????设平面A1EP的法向量m??x,y,z?，
?z?0???v由?vuuu,得?，
1??x??3?y??????m?EP??1???x?3?y?0v令x?3?，得m?3?,??1,0,
vvuuum?EA1?z?0v??因为平面A1EP?平面A1BD，
1vv所以m?n?3????1?0，解得????0,1?，
4所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP?平面A1BD，且【点睛】
BP1?. BD4本题主要考查空间线面关系的判定与性质、二面角的计算、空间向量的应用，属于综合题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?n.
（1）证明数列?an?1?是等比数列，并求数列?an?的通项公式； （2）记bn?11?，求数列?bn?的前n项和Tn. an?1anan?1n【答案】（1）证明见解析，an?2?1；（2）1?12n?1?1.
【解析】(1)由Sn?2an?n，可得Sn?1?2an?1??n?1?，两式相减，可化为an?1?1?2?an?1?,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴bn?“裂项法”，即可求得数列?bn?的前n项和Tn. 【详解】
（1）令n?1，得a1?2a1?1，由此得a1?1, 由于Sn?2an?n，则Sn?1?2an?1??n?1?，
两式相减得Sn?1?Sn?2an?1??n?1??2an?n，即an?1?2an?1，
an?1?1?2， 所以an?1?1?2an?1?1?2?an?1?，即
an?1n?1n故数列?an?1?是等比数列，其首项为a1?1?2，an?1?2?2?2，
a?11111??n?n?n?1，利用an?1anan?1anan?12?12?1n故数列?an?的通项公式是an?2?1.
（2）bn?an?1 anan?111? an?1anan?1?2n?n 2?12n?1?1???n?2???2?n?1???1??2?1?2n?1n?1??1?，
11?， 2n?12n?1?1Tn?b1?b2?L?bn
1??11?1??1?1??1?2???L????2??n? 3n?12?12?12?12?12?12?1???????111111????L?? 21?122?122?123?12n?12n?1?11?1?n?1.
2?1【点睛】
本题主要考查递推关系求通项、等比数列的定义与通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
1?k11?11?1???；（2） ?n?n?k?k?nn?k?n?k?n?n2n1?11????n?k?n； （3）；（4）n?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??2?1??2n?1?1? ??12???2n?1???1??2?1?2n?1n?1??1? ?11?；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多2n?12n?1?1项的问题，导致计算结果错误.
1x2y219．设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，抛物线E:y2?4x的焦点恰好是椭圆C的
2ab右焦点F．