解

(1)因为BC∥平面SDM，

BC?平面ABCD，

平面SDM∩平面ABCD＝DM， 所以BC∥DM．

因为AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形， 又AB＝2CD，所以M为AB的中点， →→因为AM＝λAB， 1

所以λ＝．

2

(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，CD∩SD＝D， 所以BC⊥平面SCD， 又BC?平面ABCD， 所以平面SCD⊥平面ABCD，

在平面SCD内过点S作SE⊥CD于点E，连接AE， 因为平面SCD∩平面ABCD＝CD， 所以SE⊥平面ABCD， 在Rt△SEA和Rt△SED中， 因为SA＝SD，

所以AE＝SA－SE＝SD－SE＝DE， 又由题知∠EDA＝45°， 所以AE⊥ED， 由已知求得AD＝2， 所以AE＝ED＝SE＝1．

2222111

连接BD，则V三棱锥S－ABD＝××2×1×1＝，

323又求得△SAD的面积为3， 2

设点B到平面SAD的距离为h，

11

所以由V三棱锥B－SAD＝V三棱锥S－ABD＝S△SAD·h＝，

3323

解得h＝，

3

23

所以点B到平面SAD的距离为．

3

21．(2018·山东青岛统测)(本小题满分12分)如图，圆柱H横放在底面边长为1的正六棱锥P－ABCDEF的顶点P上，O1和O2分别是圆柱左、右两个底面的圆心，正六棱锥P－ABCDEF底面中心为O，PO＝1，M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，G是圆柱H的底面

O2的最低点，P为NG的中点，点M，O1，N，A，O，D，G，P共面，点O1，P，D共线，四边

形ADGN为矩形．

(1)求圆柱H的体积V，并证明：MG∥平面PCD； (2)作出点O在平面PAB上的正投影K，并加以证明．

注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥． 解 (1)∵O为正六棱锥P－ABCDEF底面的中心， ∴PO⊥底面ABCDEF，

∵P为NG的中点，四边形ADGN为矩形，O为AD的中点，PO＝1， ∴NA∥PO，NA＝PO＝1，从而NA⊥底面ABCDEF，

∵M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点， ∴O1N⊥底面ABCDEF， 从而M，O1，N，A四点共线．

∵正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为1，∴AD＝2， ∵四边形ADGN为矩形， ∴NG∥AD，且NG＝AD＝2，

1

又P为NG中点，NP∥AD，且NP＝AD＝1，

2

∴在△O1AD中，NP为△O1AD的中位线，从而N为O1A中点， ∴O1N＝AN＝1，

∴圆柱H的体积V＝π×1×2＝2π．

∵P为NG的中点，O1为MN的中点，∴PO1∥MG， 又O1，P，D共线，∴PD∥MG， ∵PD?平面PCD，MG?平面PCD， ∴MG∥平面PCD．

(2)取AB的中点Q，连接OQ，PQ， 在△POQ中，作OK⊥PQ于K， 则K为点O在平面PAB上的正投影． 下面证明：

∵六棱锥P－ABCDEF为正棱锥， ∴PA＝PB，从而AB⊥PQ，

∵正六棱锥P－ABCDEF底面中心为O， ∴PO⊥底面ABCDEF，

又AB?底面ABCDEF，∴AB⊥PO， ∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面POQ， 又OK?平面POQ，∴AB⊥OK， 又PQ∩AB＝Q，∴OK⊥平面PAB， ∴点O在平面PAB上的正投影为K．

22．(2018·河北衡水中学九模)(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

2

AB＝1，AD＝2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ＝λQC(λ>0)．

(1)当λ＝1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；

(2)是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)证明：λ＝1时，Q为BC的中点，因为E是AD的中点， 所以ED＝BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD． 又BE?平面A1DQ，DQ?平面A1DQ， 所以BE∥平面A1DQ．

又F是A1A中点，所以EF∥A1D， 因为EF?平面A1DQ，A1D?平面A1DQ， 所以EF∥平面A1DQ．

因为BE∩EF＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF， 所以平面BEF∥平面A1DQ．

(2)连接AQ，BD，FQ，