活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形(△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′)，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)．

(1)求证：平面SEG⊥平面SFH；

5

(2)已知AE＝，过O作OM⊥SH于点M，求cos∠EMO的值．

2解 (1)证明：因为折叠后A，B，C，D重合于一点O，

所以拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形， 所以底面EFGH是正方形，故EG⊥FH． 因为在原平面图形中，△SEE′≌△SGG′， 所以SE＝SG，所以EG⊥SO．

又FH∩SO＝O，FH?平面SFH，SO?平面SFH， 故EG⊥平面SFH． 又因为EG?平面SEG， 所以平面SEG⊥平面SFH．

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(2)依题意，当AE＝时，即OE＝．

22555

Rt△SHO中，OH＝，SH＝，

22故SO＝5，所以OM＝

SO·OH＝5． SH由(1)知EG⊥平面SFH，且OM?平面SFH， 故EG⊥OM，从而EO⊥OM，

3522

故Rt△EMO中，EM＝EO＋OM＝，

2

OM2

所以cos∠EMO＝＝．

EM3

18．(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC． 而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连接AC交BD于O．因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP． 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD．

19．(2018·南昌二模)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD．

(1)确定点E，F的位置，并说明理由； (2)求三棱锥F－DCE的体积． 解 (1)因为平面CEF∥平面PAD． 平面CEF∩平面ABCD＝CE，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，

1

又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝AB，

2即点E是AB的中点． 因为平面CEF∥平面PAD， 平面CEF∩平面PAB＝EF， 平面PAD∩平面PAB＝PA．

所以EF∥PA，又因为点E是AB的中点， 所以点F是PB的中点，

综上，E，F分别是AB，PB的中点． (2)因为PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以PE⊥平面ABCD．

又F为PB的中点，AB∥CD，AB⊥AD，

11112

所以V三棱锥F－DCE＝V三棱锥P－DCE＝S△DEC·PE＝××2×2×2＝．

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20．(2018·石家庄一模)(本小题满分12分)四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，

AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．

→→

(1)点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值； (2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．