连接BC′，则C′B＝A′B＋A′C′＝在△BDC′中，由余弦定理得

22

23

＝BE， 3

BD2＋C′D2－C′B21

cos∠BDC′＝＝，

2BD·C′D3

在△C′DE中，过点A′作C′E的垂线，交C′D于点F，

12

则∠FA′B就是二面角B－EC′－D的平面角．易得A′F＝A′C′tan 30°＝，C′F＝，DF331

＝C′D－C′F＝.

3

连接BF，在△BDF中，由余弦定理得

BF＝BD2＋DF2－2BD·DFcos∠BDF＝

则在△BA′F中，由余弦定理得

22

， 3

A′B2＋A′F2－BF21

cos∠BA′F＝＝，

2A′B·A′F3

1

即二面角B－EC′－D的余弦值为，故选A.

3

→→

13.如图，已知三棱锥A—BCD的所有棱长均相等，点E满足DE＝3EC，点P在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sin θ的最大值为________．

答案

22

3

解析 因为三棱锥A—BCD的所有棱长都相等，设底面BCD的中心为O，则O为顶点A在底面的射影，以点O为原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且垂直于CD的直线为

y轴，直线OA为z轴建立

26??

空间直角坐标系．设三棱锥A—BCD的棱长为2，则易得O(0，0,0)，A?0，0，?，

3??

25

C??1，33，0???，E??1??2，33，0???

， 则→OA＝?

??

0，0，26?3??，

A→E＝??1

326?→?326??2

，3

，－3??，AC＝??

1，3

，－3??

，

设→AP＝λ→

AC(0≤λ≤1)， 则→PE＝→AE－→AP＝→AE－λ→AC

＝??1?2－λ，326?

3?1－λ?，3?λ－1???

，

则sin θ＝|→PE·→

OA|461－λ|→＝·PE||→OA|316λ2

－28λ＋13，2

设f(x)＝?1－x?

16x2－28x＋13 (0≤x≤1)，

则f′(x)＝2?2x－1??x－1?

?16x2－28x＋13?2，

令f′(x)>0，得0

2

，

所以函数f(x)在??1?0，2???

上单调递增； 令f′(x)<0，得1

2

所以函数f(x)在??1?2，1???上单调递减， 所以f(x)max＝f ??1?2???＝1

12

，

所以sin θ的最大值为46

×123

12＝23

. 26