2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案 下载本文

又∠PBE=∠PAB=α,∴β<γ<α,故选C.

4.已知四边形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起,使二面角A-π5π??BD-C的大小在?,?内,则直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是( )

6??6

?52?

A.?0,?

8??

C.?0,B.?0,D.?

?

?2?? 8?

??2??52??∪?,1? 8??8??252?

,?

8??8

答案 A

解析 设BD的中点为E,连接AE,CE, 因为AB=BD=DA=2,BC=CD=2, 所以AE=3,CE=1,且AE⊥BD,CE⊥BD, 则∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,

在平面ABD内,过点A作AF∥BD,使AF=BD,构造平行四边形ABDF,连接FD,CF,则∠CDF或其补角即为异面直线AB与CD的夹角, 则在△AEC中,由余弦定理得

AC2=AE2+CE2-2AE·CEcos∠AEC

=4-23cos∠AEC,

?π5π?又因为∠AEC∈?,?,

6??6

所以AC=4-23cos∠AEC∈[1,7].

因为AE⊥BD,CE⊥BD,且AE∩CE=E,AE,CE?平面AEC, 所以BD⊥平面AEC, 则BD⊥AC,所以AF⊥AC,

则在Rt△CAF中,CF=AC+AF∈[5,11],

2

2

2

2

?DF+CD-CF?则在△CDF中,由余弦定理易得直线AB与CD的夹角的余弦值为|cos∠CDF|=???2DF·CD??52?∈?0,?,故选A.

8??

5.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α,β,γ,则cosα+cosβ+cosγ=________. 答案 2

解析 设长方形的长、宽、高分别为a,b,c,则对角线长d=a+b+c,

2

2

2

2

2

2

222

?b2+c2?2?a2+c2?2?a2+b2?22(a+b+c)所以cosα+cosβ+cosγ=?=2. ?+??+??=

d2?d??d??d?

2

2

2

2

2

2

17

6.如图所示,在正方体AC1中, AB=2, A1C1∩B1D1=E,直线AC与直线DE所成的角为α,直线DE与平面BCC1B1所成的角为β,则cos(α-β)=________.

答案

6

6

π

解析 由题意可知,α=,则cos(α-β)=sin β,

2

以点D为坐标原点,DA,DC,DD1方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),

E(1,1,2),

DE=(1,1,2),平面BCC1B1的法向量DC=(0,2,0),

→→

|DE·DC|6

由此可得cos(α-β)=sin β==.

→→6|DE||DC|

7.(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)如图,平行四边形PDCE垂直于梯形ABCD所在的1

平面,∠ADC=∠BAD=90°,∠PDC=120°,F为PA的中点,PD=1,AB=AD=CD=1.

2

(1)求证:AC∥平面DEF;

(2)求直线BC与平面PAD所成角的余弦值.

(1)证明 连接PC.

设PC与DE的交点为M,连接FM,因为F,M分别为PA,PC的中点,则FM∥AC. 因为FM?平面DEF,AC?平面DEF,所以AC∥平面DEF.

(2)解 方法一 (几何法)取CD的中点G,连接AG,则AG∥BC,

18

所以直线AG与平面PAD所成的角即为直线BC与平面PAD所成的角. 过点G作GH⊥PD,交PD于点H,

又平面PDCE⊥平面ABCD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,AD?平面ABCD, 所以AD⊥平面PDCE,

又GH?平面PDCE,所以AD⊥GH, 因为PD∩AD=D,PD,AD?平面PAD,

所以GH⊥平面PAD,则∠GAH即为所求的线面角, 易得GH=

3

,AG=BC=2, 2

则sin∠GAH==

GHAG6, 4

10. 4

所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为

1

方法二 (向量法)过点D在平面PDCE中作DQ⊥PE,交PE于点Q,由已知可得PQ=,

2

以D为坐标原点,分别以DA,DC,DQ所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,13??

如图所示.由题意可得D(0,0,0),P?0,-,?,A(1,0,0),

22??

B(1,1,0),C(0,2,0),

13?→→?

则DA=(1,0,0),DP=?0,-,?,

22??设平面PAD的法向量n=(x,y,z), →??n·DA=0,

则?

→??n·DP=0,

x=0,??

即?13

-y+z=0,?2?2

令y=3,

得平面PAD一个法向量n=(0,3,1),

19

BC=(-1,1,0).

设直线BC与平面PAD所成的角为θ,

?n·→BC?→??=3=6, 则sin θ=|cos〈n,BC〉|=

?|n||→?BC|?224?

所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为

10

. 4

8.(2018·浙江省杭州二中月考)如图,等腰梯形ABCD中,AB=CD=BC=2,AD=5,M,N是

AD上的点,且AM=DN=2,现将△ABM,△CDN分别沿BM,CN折起,使得A,D重合记作S.

(1)求证:BC∥平面SMN;

(2)求直线SN与底面BCNM所成角的余弦值.

(1)证明 ∵BC∥MN,且MN?平面SMN,BC?平面SMN,∴BC∥平面SMN.

(2)解 过S向底面作垂线,垂足为O,连接BC的中点Q与MN的中点P,根据对称性可知O在PQ上,分别连接SQ,SP,ON,则∠SNO是所求的线面角.

在△SPQ中,SP=则sin∠SNO=

157235,SQ=3,PQ=,则SO=, 227

3514,∴cos∠SNO=. 77

9.(2018·湖州、衢州、丽水质检)已知矩形ABCD满足AB=2,BC=2,△PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.

(1)求证:PC⊥BD;

(2)设直线l过点C且l⊥平面ABCD,点F是直线l上的一个动点,且与点P位于平面ABCD

20