猎狗追兔问题

教学目标

1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入；

4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。

知识精讲

一、猎狗追兔的出题背景

猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。

通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！

二、猎狗追兔问题

问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。

单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。

例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比，

相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)

关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。

例题精讲

【例 1】 猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑

4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”

和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时间里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，这个13步是猎狗的13步. 由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).

方法二：设狗跑一步为1个长度单位，则兔跑一步为

5?1?5，兔的速度为8?4个长度单位；在相同时间内，狗的速度为943232，根据题意有26?(5?)?18(个单位时间)．猎狗追上兔时跑了?99932?18?64(个单位长度)，故兔95?18?90(个单位长度)，所以狗跑了90?1?90(步)，此时兔跑了

跑了64?4?144(步)． 9方法三：统一为“兔跑72步”的情况：兔跑72步的时间里狗比兔多跑了5?9?4?8?13(步)的路程，这里的步是狗步．由此推知，要追上26狗步，兔跑了72?(26?13)?144(步)，此时猎狗跑了5?(144?8)?90(步)．

【答案】90步

【巩固】 猎犬发现在离它9步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑5步的路程,兔子跑9

步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步,猎犬至少跑多少步才能追上兔子?

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 狗5步＝兔子9步，步幅之比＝9：5；狗2步时间＝兔子3步时间，步频之比＝2：3；则速度之

比是 9×2：5×3＝6：5；这个9步是指狗的9步距离。6×9/(6－5)＝54步。

【答案】54步

【例 2】 野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只

能跑5步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔?

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 “野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.”讲条件转化为：“野兔

跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步.”在猎狗跑15步的时间内，猎狗比野兔多跑35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.

【答案】150步

【巩固】 森林里有一对兔子兄弟赛跑，弟弟先跑10步，然后哥哥开始追赶，若弟弟跑4步的时间等于哥

哥跑3步的时间，哥哥跑5步的距离等于弟弟跑7步的距离，那么兔子哥哥跑__________步才能追上弟弟。

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 设哥哥一步跑7，那么弟弟一步跑5，那么哥哥跑21的距离，弟弟跑20，两人路程差是50，所

以哥哥要跑50个21才能追上。就是150步。

【答案】150步

【巩固】 一只野兔逃出100步后猎狗才开始追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时

间兔子能跑9步，猎狗至少要跑 步才能追上野兔。

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 240步 【答案】240步

【巩固】 猎狗追野兔。在相等的时间里，猎狗跳6次，野兔跳7次；而猎狗跳4次的距离等于野兔跳5

次的距离。当猎狗发现野兔时，野兔已跳出离猎狗10步远的距离。问猎狗跳出多少次以后才能追上野兔？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 120次

【答案】120次

【巩固】 一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子

能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 猎狗每步相当于8?3?885（兔步），猎狗的速度比兔子快(4??9)?4?（兔步），331280?5?192（步） 即猎狗至少要跑192步才能追上兔子。 12【答案】192步

【例 3】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬．一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568

步．如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由题目条件知，狼跑45步的时间狗跑35步，狼跑45步的距离等于狗跑36步的距离，也就是说，

在相同的时间里，狼跑狗的36步，狗跑35步，所以，狼与狗的速度比是36:35．相遇时，狼跑

了568?36?288(步)，狗跑了288?9?7?224(步)．

36?35【答案】224步

【巩固】 小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离

猫要跑260步.如果猫跑9步的时间狗跑5步，猫跑5步的距离等于狗跑3步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少步?

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 135步 【答案】135步

【例 4】 猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.

猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 “猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.”将条件转化为：“猎狗跑12

步的时间野兔跑20步，猎狗跑12步的距离野兔要跑21步.”我们也就可以这样认为：在一个单位时间内（猎狗跑12步的时间），猎狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野兔的1步，所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.

【答案】315米

【巩固】 猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，

猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 猎狗跑12步的路程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子要跑16步，在猎狗跑12步这个单

位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎狗追击距离为：30÷5×21=126（米）.

【答案】126米

【巩固】 一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次

的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在一个单位时间里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×2.1＝8.4（米），所以兔子跑的距离为：[20÷

（9-8.4）]×8.4=280（米）.

【答案】280米

【巩固】 猎狗发现在离它10米远的地方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步

的路程，兔子要跑9步。但是兔子动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步。

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 兔子9步=狗5步，兔子3步所用时间=狗2步所用时间，所以兔子的速度：狗的速度=5：6。所

以狗跑的距离=狗的速度x追击时间=狗的速度x（相差距离：速度差）=6乘以10：（6-5）=60米。

【答案】60米

【巩固】 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，

猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设狗跑2步的时间为1(分钟)，兔跑3步的时间也为1(分钟)；再设狗的步长为7(米)，则兔的步长

为4(米)，推出狗的速度是2×7=14，兔的速度是3×4=12。用40÷（14－12）=20，20为追击时间。再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程，即 12×20=240（米）。

【答案】240米

【巩固】 猎狗发现前方150米处有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒14米，猎狗追

赶的速度是每秒18米。在兔子前方520米处是一片灌木丛，如果兔子能钻进灌木丛，猎狗就捉不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔子呢？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 追不上。 【答案】追不上

【例 5】 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑

3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？

【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．

2549米，兔跑米． 925?25?675狗追上猫一圈需300???1??单位时间，

4?9?设单位时间内猫跑1米，则狗跑

?49?625兔追上猫一圈需300???1??单位时间．

2?25?猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是

675625的整数倍，又是的整数倍． 42675625与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即42?675625???675,625??16875?8437.5． ,??42?2?4,2???上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇． 此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5?2549?23437.5米，兔跑了8437.5??16537.5米． 925方法二：根据题意，猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等；而猫跑15步

的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同．

所以猫、狗、兔的速度比为

152521::，它们的最大公约数为 3521251?152521??15,25,21?， ??,,??35212535,21,253?5?5?7????即设猫的速度为

151251??225，那么狗的速度为??625，则兔的速度为353?5?5?7213?5?5?7211??441． 253?5?5?73于是狗每跑300?(625?225)?单位时追上猫；

4兔每跑300?(441?225)?25单位时追上猫． 1875?325??3,25?75?而?,??，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇．

2?418??4,18?2猫跑了

757575?225?8437.5米，狗跑了?625?23437.5米，兔跑了?441?16537.5米． 222【答案】16537.5米