第12章 动能定理
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（c）圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为
1111 T?JO?2??mR2?2?mR2?2
2224 （d）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为
v121121132 T?mvC ?JC?2?mvC??mR2(C)2?mvC22222R412-5 如图12.31所示，与弹簧相连的滑块M，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量W?100N，弹簧原长为l?15cm，弹簧刚度系数
求滑块M从位置A运动到位置B过程中，其上各力所做的功及合力的总功。 k?400N/m。
解：根据重力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，重力所做的功为 W重?Wh?100?0.1?10(J)
根据弹力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，弹力所做的功为
122 W弹?k(?A??B)
2而?A?0.32?0.12?0.15?0.1662m，?B?0.2?0.15?0.05m，代入上式，可得
140022 W弹?k(?A??B)?(0.16622?0.052)?5.03(J)
22合力的总功为
W合?W重?W弹?15.03(J)
12-6 长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图12.32所示。若杆OA与铅直线的夹角为?，试求杆的动能。
A O M O B 10cm x ? dx 20cm ? A x
图12.31 图12.32
解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能
1mmmx2?2sin2?22 dT?dxv?dx(x?sin?)?dx
2l2l2l整个杆子的动能为
llmx2?2sin2?ml2?2sin2? T?dT? dx?002l612-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料车置于斜坡顶A处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在C处，如图12.33所示。已知h、s1、s2，试求料车运行时的动摩擦系数f。
??解：料车在坡顶A处无初速度地下滑最后停止在C处，在该过程中重力和摩擦力均要
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理论力学
做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。 料车在坡顶A处下滑到C处，重力所做的功为 W重?Wh
式中W为料车的重力。而料车在坡顶A处下滑到C处，摩擦力所做的功为
2?h2?fWs2 W摩??fWcos?s1而cos?s12?h2?s1，即摩擦力所做的功为
W摩??fWs1?fWs2
由动能定理可知，合力的功为零，即
W合?W重?W摩?Wh?fW(s1?s2)?0 解得
h s1?s212-8 如图12.34所示，一不变力偶矩M作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为r，质量为m1。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为m2的重物，此重物沿倾角为?的斜面上升。设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为f。试求绞车转过?后的角速度。
f? A m1g m2g h v Fd A M Fx F y? s1 B C B ? s2 ? FN
图12.33 图12.34
解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过?，重物向上滑动s?r?的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩M所做的功为WM?M?，滑动摩擦力所做的功为WFd??Fds??fm2gr?cos?，重物重力所做的功为W重??fm2gr?sin?，而其它的力均不做功。故绞车转过?后，系统所受的全部力做功的和为
?W?M??mgr?(fcos??sin?)
i2初始系统静止，系统的动能T1?0。设绞车转过?后的角速度为?，则重物沿斜面上升的速度为r?，此时系统的动能为
T2??m1r2?2?m2r2?2?(m1?2m2)r2?2 由动能定理T2?T1?12121214?W，有
i
1(m1?2m2)r2?2?M??m2gr?(fcos??sin?) 42M??m2gr?(fcos??sin?)
r(m1?2m2)解得绞车转过?后的角速度为 ??·148 ·
第12章 动能定理
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12-9 两均质杆AC和BC各重为P，长为l，在点C由铰链相连，放在光滑的水平面上，如图12.35所示。由于A和B端的滑动，杆系在铅垂平面内落下。设点C初始时的高度为h，开始时杆系静止，试求铰链C落地时的速度大小。
C h A FNA P P A C B B FNB ?AC vC ?BC
图12.35
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。设点C由高度h下落到地面时的速度为v，而此时A和B两点的速度均为零。即C落到地面时，杆AC和BC的速度瞬心分别为A和B两点。杆AC和BC的角速度为
v?AC??BC?
l由于开始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0，铰链C落到地面时，系统的动能为
11P222 T2?JA?AC?JB?BC?v
223g点C由高度h下落到地面时，系统所受的全部力做功为
h Wi?2?P??Ph
2由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得铰链C落地时的速度
P2v?Ph 3g v?3gh
12-10 两均质杆AB和BO用铰链B相连，杆的A端放在光滑的水平面上，杆的O端为固定铰支座，如图12.36所示。已知两杆的质量均为m，长均为l，在杆AB上作用一不变的力偶矩M，杆系从图示位置由静止开始运动。试求当杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度。
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P B mg mg 理论力学
P ?AB B vB ?AB B vB ? ? A vA FNA M O FOx FOy ? ? A vA O A O vA
图12.36
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。运动过程中，杆OB绕定轴转动，杆AB作平面运动。由点A、B的速度方向，可知杆AB的速度瞬心如图所示。点B的速度为
vB??ABPB??OBOB 由于PB?OB?l，所以?AB??OB??。当杆的A端碰到铰支座O时，P、B 、A三点共线。点A的速度为
vA??ABPA?2l? 初始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0。杆的A端碰到铰支座O时，系统的动能为
1122 T2?JP?AB ?JO?OB22113114?[ml2?m?(l)2]?2?(ml2)?2?ml2?2 2122233杆的A端碰到铰支座O时，系统所受的全部力做功为
ll Wi?M??2mg(?cos?)?M??mgl(1?cos?)
22由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得两杆转动的角速度为
422ml??M??mgl(1?cos?) 313[M??mgl(1?cos?)]
2lm解得杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度
?? vA?2l??3[M??mgl(1?cos?)]
m12-11 如图12.37所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为W1，长为r，连杆重为W2，长为l，滑块重为W3，曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M，当∠AOB = 90?时，A点的速度为v，求当曲柄转至水平向右位置时A点的速度。
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