理论力学(盛冬发)课后习题答案ch12 下载本文

第12章 动能定理

·147·

(c)圆盘绕O点作定轴转动,它的动能为

1111 T?JO?2??mR2?2?mR2?2

2224 (d)圆盘在水平面上作纯滚动,它的动能为

v121121132 T?mvC ?JC?2?mvC??mR2(C)2?mvC22222R412-5 如图12.31所示,与弹簧相连的滑块M,可沿固定的光滑圆环滑动,圆环和弹簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量W?100N,弹簧原长为l?15cm,弹簧刚度系数

求滑块M从位置A运动到位置B过程中,其上各力所做的功及合力的总功。 k?400N/m。

解:根据重力做功的公式,滑块M从位置A运动到位置B过程中,重力所做的功为 W重?Wh?100?0.1?10(J)

根据弹力做功的公式,滑块M从位置A运动到位置B过程中,弹力所做的功为

122 W弹?k(?A??B)

2而?A?0.32?0.12?0.15?0.1662m,?B?0.2?0.15?0.05m,代入上式,可得

140022 W弹?k(?A??B)?(0.16622?0.052)?5.03(J)

22合力的总功为

W合?W重?W弹?15.03(J)

12-6 长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定,并以等角速度ω绕铅直线转动,如图12.32所示。若杆OA与铅直线的夹角为?,试求杆的动能。

A O M O B 10cm x ? dx 20cm ? A x

图12.31 图12.32

解:将杆分成许多微段,先计算微段的动能

1mmmx2?2sin2?22 dT?dxv?dx(x?sin?)?dx

2l2l2l整个杆子的动能为

llmx2?2sin2?ml2?2sin2? T?dT? dx?002l612-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数,把料车置于斜坡顶A处,让其无初速度地下滑,料车最后停止在C处,如图12.33所示。已知h、s1、s2,试求料车运行时的动摩擦系数f。

??解:料车在坡顶A处无初速度地下滑最后停止在C处,在该过程中重力和摩擦力均要

·147·

·148·

理论力学

做功,由动能定理,可知它们做功的和等于零。 料车在坡顶A处下滑到C处,重力所做的功为 W重?Wh

式中W为料车的重力。而料车在坡顶A处下滑到C处,摩擦力所做的功为

2?h2?fWs2 W摩??fWcos?s1而cos?s12?h2?s1,即摩擦力所做的功为

W摩??fWs1?fWs2

由动能定理可知,合力的功为零,即

W合?W重?W摩?Wh?fW(s1?s2)?0 解得

h s1?s212-8 如图12.34所示,一不变力偶矩M作用在绞车的均质鼓轮上,轮的半径为r,质量为m1。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为m2的重物,此重物沿倾角为?的斜面上升。设初始系统静止,斜面与重物间的摩擦系数为f。试求绞车转过?后的角速度。

f? A m1g m2g h v Fd A M Fx F y? s1 B C B ? s2 ? FN

图12.33 图12.34

解:选系统为研究对象,受力分析和运动分析如图所示。绞车转过?,重物向上滑动s?r?的距离。在此过程中,作用在鼓轮上的力偶矩M所做的功为WM?M?,滑动摩擦力所做的功为WFd??Fds??fm2gr?cos?,重物重力所做的功为W重??fm2gr?sin?,而其它的力均不做功。故绞车转过?后,系统所受的全部力做功的和为

?W?M??mgr?(fcos??sin?)

i2初始系统静止,系统的动能T1?0。设绞车转过?后的角速度为?,则重物沿斜面上升的速度为r?,此时系统的动能为

T2??m1r2?2?m2r2?2?(m1?2m2)r2?2 由动能定理T2?T1?12121214?W,有

i

1(m1?2m2)r2?2?M??m2gr?(fcos??sin?) 42M??m2gr?(fcos??sin?)

r(m1?2m2)解得绞车转过?后的角速度为 ??·148 ·

第12章 动能定理

·149·

12-9 两均质杆AC和BC各重为P,长为l,在点C由铰链相连,放在光滑的水平面上,如图12.35所示。由于A和B端的滑动,杆系在铅垂平面内落下。设点C初始时的高度为h,开始时杆系静止,试求铰链C落地时的速度大小。

C h A FNA P P A C B B FNB ?AC vC ?BC

图12.35

解:选系统为研究对象,受力分析如图所示。设点C由高度h下落到地面时的速度为v,而此时A和B两点的速度均为零。即C落到地面时,杆AC和BC的速度瞬心分别为A和B两点。杆AC和BC的角速度为

v?AC??BC?

l由于开始时杆系是静止的,即系统初始时的动能T1?0,铰链C落到地面时,系统的动能为

11P222 T2?JA?AC?JB?BC?v

223g点C由高度h下落到地面时,系统所受的全部力做功为

h Wi?2?P??Ph

2由动能定理T2?T1?Wi,有

?? 解得铰链C落地时的速度

P2v?Ph 3g v?3gh

12-10 两均质杆AB和BO用铰链B相连,杆的A端放在光滑的水平面上,杆的O端为固定铰支座,如图12.36所示。已知两杆的质量均为m,长均为l,在杆AB上作用一不变的力偶矩M,杆系从图示位置由静止开始运动。试求当杆的A端碰到铰支座O时,杆A端的速度。

·149·

·150·

P B mg mg 理论力学

P ?AB B vB ?AB B vB ? ? A vA FNA M O FOx FOy ? ? A vA O A O vA

图12.36

解:选系统为研究对象,受力分析如图所示。运动过程中,杆OB绕定轴转动,杆AB作平面运动。由点A、B的速度方向,可知杆AB的速度瞬心如图所示。点B的速度为

vB??ABPB??OBOB 由于PB?OB?l,所以?AB??OB??。当杆的A端碰到铰支座O时,P、B 、A三点共线。点A的速度为

vA??ABPA?2l? 初始时杆系是静止的,即系统初始时的动能T1?0。杆的A端碰到铰支座O时,系统的动能为

1122 T2?JP?AB ?JO?OB22113114?[ml2?m?(l)2]?2?(ml2)?2?ml2?2 2122233杆的A端碰到铰支座O时,系统所受的全部力做功为

ll Wi?M??2mg(?cos?)?M??mgl(1?cos?)

22由动能定理T2?T1?Wi,有

?? 解得两杆转动的角速度为

422ml??M??mgl(1?cos?) 313[M??mgl(1?cos?)]

2lm解得杆的A端碰到铰支座O时,杆A端的速度

?? vA?2l??3[M??mgl(1?cos?)]

m12-11 如图12.37所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为W1,长为r,连杆重为W2,长为l,滑块重为W3,曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M,当∠AOB = 90?时,A点的速度为v,求当曲柄转至水平向右位置时A点的速度。

·150 ·