28.2.2 解直角三角形

一、教学目标 1．核心素养

通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算水平、推理水平、应用意识. 2．学习目标

（1）1.1.1理解方位角、坡角等概念．

（2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决. （3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题． 3．学习重点

熟练使用解直角三角形的方法来解决方位角、坡角相关的实际问题.

4．学习难点

将实际问题抽象为数学模型．

二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

任务1 阅读教材P76-P79，思考：什么是方位角、坡角？

任务2 阅读教材P76-P79，思考：怎么利用方位角、坡角和解直角三角形的知识解决实际

应用问题？ 2．预习自测 一、填空题

1．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为______m.

答案：2错误！未找到引用源。 解析：过点B作BC⊥AC，如下图所示.

∵AB=10米，tanA=BC/AC=1/2，∴设BC=x，则AC=2x，

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2错误！未找到引用源。，∴BC=2错误！未找到引用源。米.

2．从A看B是北偏东25度，则从B看A是______方向. 答案：南偏西25? 解析：略 二、解答题

3．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛150海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；

(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)

答案：见解析

解析：(1)过点M作MD⊥AB于点D， ∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.

∵AM＝150海里，∴MD＝AMcos45°＝752(海里)．

答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是752海里． (2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°. ∵MD＝752海里，∴MB＝∴506÷20＝MD

＝506(海里)．

cos30°

565≈×2.45＝6.125≈6.1(小时)． 22答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为6.1小时． （二）课堂设计 1．知识回顾

（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则sinA?aba ，cosA＝＝ ，tanA＝＝. ccb（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

（3）含30°角的直角三角形的三边比为1:3:2；含45°角的直角三角形的三边比为1:1:2. （4）30°、45°、60°角的三角函数值：sin30??1233，sin45??，sin60??，cos30??，2222cos45??132，cos60??，tan30??，tan45??1，tan60??3. 2322．问题探究

问题探究一 什么是方位角、坡角？重点知识★ ●活动一 方位角的定义

1．方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．

2．说出下列射线的方向． 射线OA是北偏东55°， 射线OB是南偏东30°， 射线OC是南偏西35°，

射线OD是北偏西45°或西北方向． ●活动二 坡角的定义

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．

h

坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝＝tanα.

l问题探究二 方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★

●活动一应用知识，解决问题

例1.如图所示，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？ 【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】 详解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.

BD

在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，

AD∴BD＝AD·tan55°. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝∵BD＝BC＋CD，

∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．

点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求

公共边长度（即距离）.

例2. 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

20

≈20.79>10.

tan55°－tan25°

CD

，∴CD＝AD·tan25°. AD

【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】

详解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵

BE1CF1＝，＝， AE3FD2.5

∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．

1

∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，

3BEBE23∵＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)． ABsinα0.3162

答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m. 点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解.

●活动二方法总结

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）． 2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形． 3．得到数学问题的答案．

4．得到实际问题的答案．