概率论与数理统计练习册
概率统计课程组
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第一章 随机事件与概率
随机现象与随机事件
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一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）
1、设随机事件A,B满足P(AB)?0，则AB一定为不可能事件. ( × )
2、甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A?B表示 二人没有都射着. （ × ）
3、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. 甲种产品滞销，乙种产品畅销. ( × )
4、掷两枚骰子，出现点数之和大于2小于12这一事件是必然事件. （ ×）
二、填空题
1、若事件A，B满足AB??，则称A与B 互斥（互不相容） 2、“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示ABUBCUAC
三、单项选择题
1、掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为( C )
（A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件 2、下面各组事件中，互为对立的事件有 ( B )
（A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品} （B）B1?{抽到的三个产品全是合格品}
B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品}
（C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个}
C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个}
（D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品}
D2?{抽到的三个产品中有2个废品}
3、下列事件与事件A?B不等价的是（ C ）
（A）A?AB （B）(A?B)?B （C）AB （D）AB
4、设??{x|???x???},A?{x|0?x?2},B?{x|1?x?3}，则AB表示
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( A )
（A）{x|0?x?1} （B）{x|0?x?1}
（C）{x|1?x?2} （D）{x|???x?0}?{x|1?x???}
5、在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 ( A )
（A）AC?BC； （B）ABC； （C）ABC?ABC?ABC； （D）A?B?C. 6、设A1、A2、A3表示3个事件，则A1A2A3表示（ B ）
A、A1、A2、A3中有一个发生 B、A1、A2、A3中至少有一个不发生 C、A1、A2、A3不多于一个发生 D、A1、A2、A3中恰有两个发生
四、解答题
1、判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”.必然 （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；不可能 （3）“某人射击一次，中靶”；随机 （4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;必然 （5）“掷一枚硬币，出现正面”；随机 （6）“导体通电后，发热”；必然 （7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”；随机 （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；随机 （9）“没有水份，种子能发芽”；不可能 （10）“在常温下，焊锡熔化”．不可能
2、一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：
（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。
3、有三位学生参加高考，以Ai表示第i人考取（i=1,2,3）,试用Ai表示下列事件：(1)至少有一个考取；(2)至多有两人考取；(3)恰好有两人落榜. 4、投掷一枚硬币5次，问下列事件A的逆事件A是什么事件？ (1)A表示至少出现3次正面；(2) A表示至多出现3次正面; (3) A表示至少出现3次反面;
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概率、古典概率
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一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）
11、如果某种彩票中奖的概率为 ，那么买1000张彩票一定能中奖.（× ）
10002、在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，这个规则是公平的.( √ )
3、对于任意两个事件A、B,有p(A?B)?P(A)?P(B)成立.（ ×）
4、在相同条件下，重复进行n次试验，将随机事件A在n次试验中发生的频率
fn(A)定义为事件A发生的概率P(A). ( × )
5、设A和B是两事件，则P(A)?P(AB)?P(AB).（ √ ）
二、填空题
1、设A和B是两事件，则P(A)?P(AB)? P（AB)
2、设A、B、C两两互不相容，P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，则
P[(A?B)?C]? 0.5 3、若P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.3，则P(A?B)? 0.8
14、设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?，且
29P(A?B?C)?已知，则P(A)? 1/4
16115、设P(A)?P(B)?P(C)?，P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，则A、B、C全
48不发生的概率为 1/2
6、设A和B是两事件，B?A，P(A)?0.9,P(B)?0.36，则P(AB)? 0.54
三、单项选择题
1、掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B）
1111（A） （B） （C） （D）
361812112、袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，
则两次都是红球的概率是 ( B)
5
（A）
9363 （B） （C） （D） 251025203、已知事件A、B满足A?B，则P(B?A)? (B)
（A）P(B)?P(A) （B）P(B)?(A)?P(AB) （C）P(AB) （D）P(B)?P(AB)
4、A、B为两事件，若P(A?B)?0.8,P(A)?0.2,P(B)?0.4，则( B ) （A）P(AB)?0.32 （B）P(AB)?0.2 （C）P(B?A)?0.4 （D）P(BA)?0.48
5、有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 （ D ）
4!?6!744!?7!A B C D （）（）（）（）
10!101010!6、当A与B互不相容时，则P(A?B)?（ C ）
A、1?P(A) B、1?P(A)?P(B) C、0 D、P(A)P(B) 7、下列有关概率的性质说法错误的是（ C ） A、对任意事件A，有0?P(A)?1 B、若A、B互斥，则P(A?B)?P(A)?P(B) C、对任意事件A、B，有P(A?B)?P(A)?P(B) D、对事件A及其对立事件A，有P(A)?1?P(A)
四、解答题
1、某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率） 种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 2、罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；
（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。
3、袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。
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4、某城市中发行三种报纸A、B、C. 经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、B、C报的有3%. 试用A、B、C表示出下列事件，并求出其概率.
（1）至少订一种报纸； （2）三种报纸都没人订； （3）至少有一种报纸没人订； （4）只订A及B报.
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条件概率、乘法公式、全概公式、贝叶斯公式
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一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）
1、一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，这时另一个小孩也是女孩的概率是1/2.（ √ ）
2、对任意事件A、B，恒有0 1、设A、B为两事件，P(A?B)?0.8,P(A)?0.6,P(B)?0.3，则 P(B|A)? 1/6 2、设P(A)?0.6,P(A?B)?0.84,P(B|A)?0.4，则P(B)? 0.6 3、若P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(B|A)?0.2，则P(A|B)? 0.9 4、某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0,.735 5、已知A1,A2,A3为一完备事件组，且P(A1)?0.1,P(A2)?0.5,P(B|A1)?0.2 P(A1|B)?P(B|A2)?0.6P(B|A3)?0.1,，则 1/18 三、单项选择题 1、设A、B为两个事件，P(A)?P(B)?0，且A?B，则下列必成立是(A ) （A）P(A|B)?1 （B）P(B|A)?1 （C）P(B|A)?1 （D）P(A|B)?0 2、设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球 有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=（ D ）。 6644（A） （B） （C） （D） 10167113、设A、B为两事件，且P(A),P(B)均大于0，则下列公式错误的是（ B ） （A）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B|A) （D）P(A)?1?P(A) 4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一 8 件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为( B ) 1321（A） （B） （C） （D） 55525、设A、B为两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A)，则必有( C ) （A）P(A|B)?P(A|B) （B）P(A|B)?P(A|B) （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(AB)?P(A)P(B) 6、某设备使用10年的概率是0.8，能使用15年的概率是0.4，现已使用了10年的设备能继续使用5年的概率是（ A ） A、0.5 B、0.4 C、0.8 D、0.2 7、设A、B是两个互不相容的事件，且P(A)?0、P(B)?0，则下列结论成立的是（ B ） A、P(A)?1?P(B) B、P(AB)?0 C、P(AB)?1 D、P(AB)?0 8、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是4，刮三级以上风的概率为2， 1515既刮三级以上风又下雨的概率为1，则在下雨天里，刮风的概率为（ C ） 10（A） 831 （B） （C） 28225（D） 3 4 四、解答题 1、某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表． (1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 2、某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？ 3、某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求： （1）任取一件产品是正品的概率； （2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。 4、某商店出售晶体管，每盒装100只，已知每盒混有4只不合格品. 商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管，如果随即地取1只发现是不合格品，商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中，不合格的那只晶体管不再放回。顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试，试求他发现全是不合格品的概率。 5、为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时， 9 其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B失灵的条件下，A有效的概率。 6、10个考签中有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，抽后不放回，每人一次，按甲先，乙次，丙最后的方式抽取. 试求：（1）甲抽到难题签的概率；（2）乙抽到难题签的概率；（3）丙抽到难题签的概率；（4）根据前面3个小问计算的结果，你可得到什么样的结论. 10 事件的独立性与伯努利概型 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1.若A?B，那么A与B独立. （ × ） 2.设事件A与事件B独立，则错误！未找到引用源。. （× ） 3.事件A与事件B互斥则两事件一定不独立. （ × ） 4.若事件A与B相互独立，则A与B一定互斥. （ √ ） 二、填空题 1.某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为_______8/125_ 2.三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为P1,P2,P3,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是____P1P2(1-P3)+P2P3(1-P1)+P1P3(1-P2)____ 3.每门高射炮射击飞机的命中率为0.6，至少要 8 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过0.98. 4.甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为0.5和0.6，两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率_____0.7___ 三、单项选择题 1.若A与B相互独立，则下面不相互独立的事件是（ A ） A. A与A B.A与B C. A 与B D. A与B 12.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生 9A不发生的概率相同则事件A发生的概率P（A）是（ A ） 2111A. B. C. D 339183.抛掷一颗骰子一次,记A表示事件:出现偶数点，B表示事件：出现3点或6点，则事件A与B的关系是（ D） A、相互互斥事件 B、相互独立事件 C、既相互互斥事件又相互独立事件 D、既不互斥事件又不独立事件 4.若事件A、B发生的概率都大于零，则( C ) ??????????A．如果A、B是互斥事件，那么A与B也是互斥事件 B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件 C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件 D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件 四、解答题 11 ??1.甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 437、、，5510求：（1）三人中有且只有两人及格的概率； （2）三人中至少有一人不及格的概率。 2.甲乙两人进行围棋赛，已知一局中甲胜出的概率为2/3，甲负的概率为1/3，没有和棋，若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜。则甲获胜的概率为多少？若进行五局三胜比赛，甲获胜的概率又是多少？如果甲乙实力相当，你对赛制长短的看法是什么？ 3、设甲、乙、丙3人相互独立各投篮一次，投中的概率分别是0.6，0.5，0.8. 若用A、B、C分别代表甲、乙、丙3人投中的事件，请用A、B、C表示出下列事件，并求出其概率：(1)都没有投中；（2）至少有一个投中；（3）恰好有一个投中；（4）至多有一个投中. 12 单元测验一 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1. 对于任意两个事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)成立. （ √ ） 2.任意两事件A、B互斥则它们一定对立. （ × ） 3.任意两事件A、B独立则它们一定不互斥. （ √ ） 二、填空题 1.从一副混合后的扑克牌(52张，去掉大、小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)的值是__7/26______.(结果用最简分数表示) 2.第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名大学生和B大学4名大学生共计6名志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是__3/5______. 3. 有一批产品，有4件次品，6件正品，每次抽一件测试，直到4件次品都找到为止．假定抽查不放回，则在第5次测试的停止的概率为__2/105______；在第10次测试后停止的概率为_2/5_________． 三、单项选择题 1. 事件A的概率 P(A)必须满足（ C） A．0＜P(A)＜1 B．P(A)=1 C．0≤P(A)≤1 D．P(A)=0或1 2．下列说法正确的是（ D ） A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 3.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C). A.至少有1个白球，都是红球 B.至少有1个白球，至多有1个红球 C.恰有1个白球，恰有2个白球 D.至多有1个白球，都是红球 4.若事件A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则下列成立的是（B ） A.P(B|A)=P(A|B) B. P(A|B)=P(A) C.A、B相容 D、A、B互不相容 ???? 13 1，则下列结论肯定正确的是（ D ） 211A、P(A?B)?1 B、P(AB)? C、P(AB)? D、P(AB)?P(AB) 246、袋中有5个球（3新2旧），现无放回地抽取两次，第一次取到新球后第二次再取到新球的概率是（ C ） A、3 B、3 C、1 D、2 5425 四、解答题 1.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红5、已知P(A)?P(B)?球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 下列事件的概率：(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球; (3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球. 3.已知P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)=1/2，求错误！未找到引用源。 4.某厂生产的每台仪器，可直接出厂的占70%，需调试的占30%，调试后出厂的占80%，不能出厂的不合格品占20%。新生产n(错误！未找到引用源。)台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），试求（1）全部能出厂的概率； （2）恰有2台不能出厂的概率； （3）至少有2台不能出厂的概率 5.有位朋友从远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率是1/4，1/3，1/12，而乘飞机则不会迟到，求 （1）他迟到的概率 （2）他迟到了，问他是乘火车来的概率？ ， 2.袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求 14 第二章 随机变量及其分布 随机变量及其分布函数 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、函数错误！未找到引用源。，则其能作为某一个随机变量的分布函数. （ × ） 2、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其是一个单调不降的函数. （ √ ） 3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则F(X)定义域为一般的样本空间. （ × ） 4、设X为一随机变量，F(x)为X的分布函数，则有P{X?2}?F(2). （ √ ） 二、填空题 1、随机变量X的分布函数F(X)是事件__X<=x_加绝对值符号_____的概率。 2、用随机变量X的分布函数F(x)表达下述概率 错误！未找到引用源。______F(a)__;错误！未找到引用源。_____1-F(a)___;错误！未找到引用源。___F(x2)-F（x1）_____. 3、若错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,其中错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。=_ ____1-a-b____. 三、单项选择题 1、随机变量X的分布函数错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。( B ) A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 2、随机变量X的分布函数错误！未找到引用源。,则下列概率中可表示为错误！未找到引用源。的是（ C ） A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其值域为（ D ） A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 四、解答题 1.下列函数中，哪个是随机变量X的分布函数，为什么？ （1） 错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 (3)错误！未找到引用源。 (4)错误！未找到引用源。 2.设随机变量X的分布函数为错误！未找到引用源。,求: (1)系数A,B；（2）X落在区间错误！未找到引用源。上的概率。 15 离散型随机变量 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、P(X=c)=1不是概率分布，其中c是确定常数. （ × ） 2、 1 2 3 4 是离散型随机变量的概率分布律. （ ×） 3、投掷一个六个面都刻上数字6的骰子，所得点数X是离散型随机变量. （ √ ） 4、离散型随机变量X的分布函数为F（x），则P（a错误！未找到引用源。）=F（b）-F（a）. （ √ ） 5、设随机变量X的分布律为P（X=k）=错误！未找到引用源。（k=1,2，···，N），则a=1. （ √ ） 6、离散型随机变量的分布函数是连续函数. （ × ） 二、填空题 1、某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1-0.14。其中正确结论的序号为____1,3__________。 2、现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是_C5K(0.3^K)(0.7^5-K_)_. 3、某电话总机每分钟接到的呼叫次数服从参数为5的泊松分布，则每分钟恰好接到5次呼叫的概率为__0.616_. 4、设随机变量X～B（6，p），已知P（X=1）=P（X=5）,则p=__1/2____ 5、设离散型随机变量X的分布函数为 ?0x??1?a?1?x?2? F(x)??2 ?a1?x?2?3?a?bx?2?1且P(X?2)?，则a? 1/6 ，b? 5/6 。 26、设F(x)为离散型随机变量的分布函数为，若P(a?X?b)?F(b)?F(a)， 则P(X?b)? 0 。 7、一颗均匀骰子重复掷10次，设X表示点3出现的次数，则X的分布律 16 P(X?k)? C10K(1/6^K)(5/6^10-K_) 。 三、单项选择题 1.a为何值时p(x=k)=a(2/3)k,k=1,2,….才能成为随机变量X的分布列（ B ） 11A.B. C.1 D.2 3 22. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中 目标的概率为（ A ） A. 81543627 B. C. D. 12512512512511、，设X表示产生故233．两台相互独立工作的机器，产生故障的概率分别为 障的机器台数，则P（X=1）等于（ A ） 1151 B. C. D. 366214. 已知随机变量X的分布列为P（X=k）=k，k=1,2,3，4…,则 2P（2〈X错误！未找到引用源。4）等于（ A ） 3115A. B. C. D. 16416165. .袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 A.5 B.9 C.10 D.25 6. 下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（ B ） A. e?1e?1(k?0,1,2,?) B.(k?1,2,?) A．k!k!11 D.(k?0,1,2,?)(k??1,?2,?)kk22 7. X服从参数??2的泊松分布，则下列说法正确的是（ B ） C. A、X只取正整数 B、P{X?0}?e C、P{X?0}?P{X?1} D、P{X?1}?2e?2 四、解答题 1、设随机变量X～B（2，p），Y～B（3，p），若已知P{X错误！未找到引用源。}=错误！未找到引用源。，求P{Y错误！未找到引用源。} 17 ?22、某地区一个月内发生的交通事故的次数X服从参数?的泊松分布，即X~P(?). 据统计资料知，一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故概率的2.5倍. 请计算下述问题： （1）求?的值；（2）一个月内发生3次交通事故的概率；（3）一个月内至少发生1次交通事故的概率. 3、射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 4、在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张奖券中任抽2张。 （1）求该顾客中奖的概率； （2）求该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列。 5、如图， 两点之间有条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 设选取的三 条网线由到 可通过的信息总量为，当 时，则保证信息畅通 求线路信 息畅通的概率； 6、设有一汽车在开往目的地途中需经过4盏信号灯，每盏灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯数. 设各个信号灯工作是相互独立的，试求：⑴X的概率分布；⑵首次停下时，至少通过了3盏信号灯的概率；⑶X的分布函数. 7、已知天府学院大二学生有4000人，每人参加保险一年交付保险费40元，若在一年内出现意外伤害事故，保险公司一次性赔付8000元．设一年内每名学生出事故的概率为0.002，试求：（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利不少于40000元的概率． 18 连续型随机变量 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1.函数sinx在[0，错误！未找到引用源。]是某个随机变量?的分布密度. （ X ） 2.概率为零的事件一定是不可能事件. ( X ) 3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f（x），则P（X=a）=f（a）. （ X ） 4.若x是f (x)的连续点,则有F′(x)= f (x). （ √ ） 5.连续型随机变量的分布函数一定是连续的函数. ( √ ) 6.已知随机变量X～N（错误！未找到引用源。），则 P{a?X?b}??(b)??(a). （ X ） 7. 设随机变量X~N(1,4),P(X?a)?1，则a?0 （ X ） 28、对任意随机变量X，都有P{X?0}?0. （ √ ） 二、填空题 1.设随机变量?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),则错误！未找到引用源。用分布函数值表示为 2P(W)-1 。 2.已知X～E(2), 则X的密度函数为 f(x)=2e^-2x ,x>0 f(x)=0 , x<=0 。 3. 连续型随机变量X为f(x)?2 。 4. 设F1(x),F2(x)为分布函数，a1?0,a2?0，a1F1(x)?a2F2(x)为分布函数，则 16?e?(x2?4x?4)2??c， ?f(x)dx??f(x)dx，则c? c??a1?a2? 1 。 5. 若P(X?x2)?1??,P(X?x1)??,x1?x2，则P(x1?X?x2)? α-β 。 6. 随机变量X的密度函数为f(x)?ke122? 。 ?(x?1)28 (???x???)，则k? 19 x?0?0?7. 若连续型随机变量的分布函数F(x)??Ax20?x?6，则A? 1/36 。 ?1x?6?三、单项选择题 1. 为使p(x)?Ae?x为某一随机变量的密度函数，A应该为（ C ） A．1 B.2 C.0.5 D.0.8 ?2x,2、设随机变量X的概率密度函数f(x)???0,（ B ） A、?1 B、 0?x?A其他 ，则常数A等于 1 C、1 D、?1或1 23. 设随机变量X～N（错误！未找到引用源。），Y～N（错误！未找到引用源。），令p=P{X错误！未找到引用源。}，q=P{Y错误！未找到引用源。}，则有（ A ）成立。 A.对任何实数u，都有p=q； B.对任何实数u，都有p错误！未找到引用源。 C.对u的部分数值，才有p=q； D.不能确定 4. 设随机变量X~N(1,1)，分布函数为F(x)，密度f(x)，则有（C ） A.P(X?0)?P(X?0) B.f(x)?f(?x) C.P(X?1)?P(X?1) D.F(x)?F(?x) ?x0?x?1?5. 设随机变量X的密度函数为f(x)??2?x1?x?2，则P(X?1.5)?（B ） ?0其他?1.51.5A. 0.75 B. 0.875 C. ?(2?x)dx D. ?(2?x)dx 016. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度f(x)，则（ A ） A.P(X?x)?0 B.F(x)?P(X?x) C．F(x)?P(X?x) D.f(x)?P(X?x) 7.随机变量X～N(?1, ?12), Y～N(?2, ?22), 且P{|X－?1| <1}>P{|Y－?2|<1}, 则 正确的是（ A ）. A． ?1?2; C. ?1?2. 8. 设随机变量X~N(0,1)，?(x)为其分布函数，P(X?x)??，则x?（ B ）。 20 A.??1(1??) B.??1(1??) C.??1(?) D.??1() 22?(x?5)24?9．设X~N(?,?2)，其概率密度函数f(x)?k?eA、 122?，则k?（ C ） 142? B、 12? C、 12? D、 四、解答题 1.设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：min）服从参数错误！未找到引用源。的指数分布，某顾客在银行窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 ①某顾客某天去银行，求他未等到服务而离开的概率； ②如果该顾客一个月去银行5次，求他至多有一次未等到服务而离开的概率。 2.设随机变量?的分布函数为 ?1?(1?x)e?xx?0F(x)?? x?0?0求相应的密度函数，并求P(??1)。 3.某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为 ?12x(1?x)20?x?1p(x)?? 0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天 供电量90万度又是怎样呢？ 4. 某种电池的寿命?服从正态N(a,?2)分布，其中a?300（小时），??35（小时），(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。 5.设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其中参数错误！未找到引用源。，试求在仪器使用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率。 6. 某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？ 21 随机变量的函数的分布 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1．X服从?a,b?上均匀分布，则Y?cX?d也服从均匀分布。 （ √ ） 2. 离散型随机变量X的函数Y=g（X）仍然是离散型随机变量. （ √） 3．设X是一连续型随机变量，则Y=g（X）仍是连续型随机变量。 （ × ） 4. 正态分布的线性函数仍服从正态分布. （ √ ） 5. 连续型随机变量X的概率密度函数为错误！未找到引用源。x错误！未找到引用源。，则连续函数Y=g（X）的概率密度为 ?fX[g?1(y)]?[g?1(y)]? ??y??FY(y)??0 ? （ × ） 二、填空题 1. 设随机变量X服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量Y?X2的密度函数 1为 fy(y)= 2Y ,y>0 fy(y) =o,其他 2. 随机变量X的密度函数为X~N(1,4),则Y?2X?1~ N(1,16) 3. 设X为连续型随机变量，且P(X?0.29)?0.75，且P(Y?k)?0.25，Y?1?X，则K=0.71 4. 随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，Y=-2lnX，则Y的密度函数= Y>0 -1/2倍e的-X/2次方，其他时为0 5.若X的分布律 X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4 则Y=2X-1的分布律= 6.若X～N(错误！未找到引用源。),则Y=错误！未找到引用源。～ N(0，1) 三、单项选择题 1. 设随机变量X～E(5), 则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数是（ D ） A. 连续函数； B. 至少有两个间断点； C. 阶跃函数； D. 恰好有一个间断点. 2. 设随机变量的分布密度为f(x)?A. 1,则Y?2X的密度函数为（ B ） ?(1?x2)121 B. C. D.222?(1?x)?(4?x)?(1?4x)1 12?(1?x)4 22 3. 设随机变量X～N(错误！未找到引用源。),则Y=aX+b～（ C ）其中错误！未找到引用源。。 A.N(错误！未找到引用源。) B.N(0,1) C.N(a错误！未找到引用源。) D.N(a错误！未找到引用源。) 4.若g（x）为连续函数，则离散型随机变量X的函数g（X）为（ B ）。 A.连续型随机变量 B.离散型随机变量 C. 混合型随机变量 D.不是随机变量 5.已知X～N(3，错误！未找到引用源。)，决定c使得P(X>C)=P(X错误！未找到引用源。C).( D ) A.1 B. 2 C. 0 D.3 6. 若g（x）为连续函数，则连续型随机变量X的函数g（X）为（ A ）。 A.一定是连续型随机变量 B.一定是离散型随机变量 C.一定是混合型随机变量 D.不一定是连续型随机变量 7.设X在（0,2）上服从均匀分布，概率密度为错误！未找到引用源。 又设连续函数y=g（x）=错误！未找到引用源。,则Y=g（X）的分布函数错误！未找到引用源。为（ C ）。 A． 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 四、解答题 1.已知随机变量X的概率分布为 X P －1 0.1 0 0.2 1 0.3 1.5 0.4 求随机变量Y=2X－1和Z=X2的分布律. 2?,x?0?2. 设随机变量X～ f(x)???(1?x2), 求Y=lnX的密度函数. ?0,x?0?3.设随机变量X～E(2), 求Y=1－e－2X的密度函数. 4.已知随机变量X的分布律为： x －2 0 1 1.5 3 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 求X+2, －X+1与X2的分布律. 5. 假设由自动线加工的某种零件的内径(单位mm)服从正态分布N(11, 1),内径小于10或大于12的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每 件不合格品则亏损. 已知销售利润Y(单位:元)与销售零件的内径X有关系: 23 ??1,X?10?Y??20,10?X?12，求Y的分布律. ??5,X?12? 24 二维随机变量及其分布 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、设（X，Y）为二维离散型随机变量，若（X，Y）的某一对取值(xi,yj)，满足 pij?pi??p?j成立，则可判断X与Y相互独立. （ × ） 二、填空题 1、设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则随机点(X,Y)落在矩形区域 D?{(x,y)|x1?x?x2,y1?y?y2}中的概率为____F(X1，Y1)+F(X2，Y2)-F(X1， Y2)-F(X2，Y1)_______________________________. 2、设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则F(??,y)=____0____, F(x,??)=______Fx(X)__, F(x?0,y)=_____F(X,Y)____. 3、设随机变量(X,Y)的联合分布为 则?,?应满足的条件是_____α+β=1/3__,若Ｘ与Ｙ相互独立，则 ??_____,??______.2/9,1/9 三、单项选择题 1、设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则P(X?a,Y?b)=_C______. （A）1?F(a,b) （B）F(a,??)?F(??,b) （C）F(a,b)?1?F(a,??)?F(??,b) （D）F(a,b)?1?F(a,??)?F(??,b) 2、设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则其边缘分布FX(x)=___B____. 25 （A）limF(x,y) （B）limF(x,y) （C）F(0,y) （D）F(x,0) x???y???3、设随机变量(X,Y)只能取下列数值，（-1,0），（0,1），（2,0），（2,1），且取这 1115些值的相应概率分别为,,,，则c=__B____. c2c4c4c（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 ?0 1??0 1?4、设随机变量X与Y相互独立且服从同一分布，X~?12?,Y~?12?，则 ??? ??? ???33??33?下列格式成立的是_____A___. 5 （C）P(X95、设（X,Y）的联合分布律为： Y 1 X 1/3 ?1 1 0 （A）X?Y （B）P(X?Y)??Y)?1 （D）P(X?Y)?0 2 3 a/6 1/4 1/4 a2 则a?（ A ） 111111A、 B、? C、或? D、且? 333222 四、解答题 1、设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示下列事件发生的概率. （1）P(a?X?b,Y?c) （2）P(0?Y?b)（3）P(X?a,Y?b) 2、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X，第二次取的球上标的数字为Y，求(X,Y)的联合分布律. 3、设(X,Y)相互独立且分别具有下表所定的分布律， 试写出(X,Y)的联合分布律. 4、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 26 ?2xy?x?, 0?x?1, 0?y?2 f(x,y)??3?? 0 , 其它求P(X?Y?1). 5、设随机变量在矩形区域D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}中服从均匀分布，求 （1）联合概率密度及边缘概率密度（2）问随机变量X与Y是否相互独立？ 6、在[0,?]上均匀地任取两个数Ｘ与Ｙ，求P(cos(X?Y)?0)． 27 单元测验二 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、设X为一随机变量，对任意x?R，函数F(x)?P{X?x}称为随机变量X的分布函数. （ √） 2、对连续型随机变量X，有P{a?X?b}?P{a?X?b}. （ √ ） 3、常用的离散型分布有：0-1分布，二项分布，指数分布. （ × ） 二、填空题 1、设F(x)是离散型随机变量的分布函数，若P(??b)?_0_____，则 P(a???b)?F(b)?F(a)成立。 ?0??a2、设离散型随机变量?的分布函数为F(x)??2?3?a?a?b?x??1?1?x?11?x?2x?2 ，且 P(??2)?12，则1/6 5/6a?______,b?_________, ? 的分布律为__________. x??2?3、设连续型随机变量?的概率密度为f(x)??ke??0x?0则 x?01-e-1, k?______,e-1/2-e-1 P(1???2)?____, P(??2)?____,P(??2)?____。0 4、设随机变量?的概率密度为 ?kxbf(x)???00?x?1,(b?0,k?0)， 其他1且P(??)?0.75, 则k?_______,b?_________2,1 25、设（X,Y）的分布律为 28 Y X 0 1 0 0.56 0.14 1 0.24 0.06 11?1???则P?X?,Y??? ，P?X?1?? ，P?X??? 。 22?2???0.56, 0.2, 0.8 6、设（X,Y）的分布律为 (1,1) (I,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 1111 P ? ? 69318 （X,Y） X与Y独立，则?? 2/9 ，?? 1/9 。 三、单项选择题 1、P(??xk)?2(k?1,2?)为一随机变量?的分布律的必要条件是（ D ） pk（A）xk非负 （B）xk为整数 （C）0?pk?2 （D）pk?2 2 、若函数y?f(x)是一随机变量?的概率密度，则（ C ）一定成立 （A）f(x)的定义域为[0，1] （B）f(x)的值域为[0，1] (C) f(x)非负 (D) f(x)在内连续 （??，?）3、如果F(x)是（ D ），则F(x)一定不可以是连续型随机变量的分布函数. （A）非负函数 （B）连续函数 （C）有界函数 （D）单调减少函数 4、下列函数中，（ A ）可以作为连续型随机变量的分布函数 ?ex(A)F(x)= ??1x?0x?0?e?x （B）G(x)= ??1x?0 x?0?0(C)?(x)? ?x1?e?x?0?0 (D) H(x)= ??xx?01?e?x?0x?0 29 5、设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1,X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某个随机变量的分布函数，则下列给定的各组值中应取（ A ） 2232（A）a?,b?? （B）a?,b? 33551313（C）a??,b? （D）a?,b?? 22226、设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，则随着?的增大，概率P{|X??|??}（ C ） (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 ?1?7 、 设 的联合概率密度为f(x,y)???（?,?）??0x2?y2?1其他 ，则?与?为 （C ）的随机变量。 （A）独立同分布 （B）独立不同分布 （C）不独立同分布 （D）不独立也不同分布 8、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为 X 0 1 Y 0 1 1212 P P 3333则下列式子正确的是（ A ）。 5（A） X?Y （B） P?X?Y??1 （C） P?X?Y?? （D） P?X?Y??0 99、一电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数??4的泊松分布，那么每分钟接到的呼唤次数大于20的概率是（ D ） ???4k?44k?44k?4420?4e D、?e e B、?e C、?A、 20k?0k!k?2120!k?21k!22)，则10、设X~N(1，X?1~（ D ） 2A、N(1,22) B、N(1,2) C、N(0,2) D、N(0,1) 四、解答题 1、设随机变量X的概率密度为 ?2?1?x2?1?x?1f(x)??? ?0其它?求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 2、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 30 （1）这批产品经第一次检验就能接的概率 （2）需作第二次检验的概率 （3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 （4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率 3、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。 4、某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。 （1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 5、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N（110,12^2），在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求 （1）P(X≤105)，P (100 6、设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y?X2的概率密度。 7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为 YX 0 1 2 0.1 K 的 密 度 函 数 为 1 0.3 0.2 3 0.1 0.1 （1）求常数k；（2）求X＋Y的概率分布 8 、 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y)?21?x?xy,f(x,y)??3?0,?0?x?1,0?y?2其它， （1）求关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X和Y是否相互独立？ （2）求P?X?Y?1?。 31 第三章 随机变量的数字特征 数学期望 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、对任意的随机变量X，Y有E(XY)=E(X)·E(Y)。（ × ） 2、对任意常数c，有E(c)?0.（ × ） 3、对任意的随机变量X，Y有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。（ √ ） 二、填空题 1、设随机变量X的分布律为： X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4 则E(X)=_____0.9____;E(|X|)=_____1.3____;E(X2)=_____2.1_____. 2、设X1,X2,X3都服从[0,2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)=_4________. 3、设随机变量X~N(?,?2)，则E(|X??|)=_______0__. 三、单项选择题 1、设随机变量X的数学期望存在，则E(E(X))=（ C） (A) 0 (B) (EX)2 (C) E(X) (D) E(X)2 2、设X,Y都服从指数分布E(2)，则E(4X?6Y)?( D ) （A） 10 （B）12 （C）3 （D） 5 3、设随机变量X服从参数为0.8的0-1（两点）分布，则下列关于E(X2)和(EX)2的说法正确的是（ A ） （A）E(X2)?(EX)2 （B）E(X2)?(EX)2 （C）E(X2)?(EX)2 （D）无法确定二者的大小 4、设X,Y都服从指数分布E(2)，则E(4X?6Y)?( D ) A、10 B、12 C、3 D、5 四、解答题 1、设随机变量X只取-1,0,1三个值，且相应概率的比为1:2:3，计算X的数学期望. 2、某种产品每件表面上的瑕疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个瑕疵点. 32 若规定瑕疵点数不超过1个为一等品，价值10元；瑕疵点数大于1不多于4个为二等品，价值8元；4个以上者为废品，无价值. 求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值. 3、一矩形土地的长于宽分别为随机变量?和?，?和?的分布律如下表所示： 求周长的期望值. 4、下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列，若表中各以组中值为代表.从188辆汽车中，任意抽选15辆，得出下列数字：90,50,150,110,90,90,110,90,50,110,90,70,50,70,150. （1）求这15个数字的平均值； （2）计算表中的期望并与（1）的结果相比较. 5、已知随机变量X的分布函数F(x)为： ? 0 , x?-1?21x??x?, -1?x?0?2F(x)??2 2?1?x?x, 0?x?1?22?? 1 , x?1 计算E(X). 6、设连续型随机变量X的概率密度为 ?kxa 0?x?1 (k,a?0)f(x)?? ?0 其它又知E(X)=0.75，求k和a的值. 33 方差 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1.随机变量的方差都存在. （ × ） 2.若一个随机变量的数学期望不存在,则其方差也不存在. （ √ ） 3.随机变量X的方差D?X?刻画了X取值的集中程度. （ √ ） 4.有相同数学期望和方差的随机变量,其分布函数必定相同. （ × ） 5.对于随机变量X,D??2X???4D?X?. （ × ） 6.随机变量X的数学期望和标准差量纲相同. （ √ ） 7.若随机变量X的5阶中心距存在,则X的k?k?5?阶原点距必存在. （ √ ） 8.n个随机变量X1,X2,二、填空题 1、 三、单项选择题 1.设随机变量X~N?1,0.09?,则X的数学期望和标准差分别是（ B ） A. 1, 0.09 B. 1, 0.3 C. ?1, 0.3 D. ?1, 0.09 ?n?n,Xn,有结论D??Xi???DXi成立. （ × ） ?i?1?i?12.设随机变量X~??25?,则Var?X??_______.A A. 25 B. 5 C. ?5 D. ?25 3.设X~U[0,2]，则D(X)?（ C ） 11A、1 B、2 C、 D、 364.设随机变量X的标准差是3,则D??3X?1??_______.D A. ?9 B. ?27 C. 82 D. 81 5.设X服从_C____分布,则E?X??D?X?. A. 正态 B. 指数 C. 泊松 D. 二项 6.X~B?n,p?,E?X??2.4,D?X??1.44,则n,p_______.C A. n?4,p?0.6 B. n?8,p?0.3 C. n?6,p?0.4 D. n?24,p?0.1 34 ?1,若X?0?7.设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布,随机变量Y??0,若X?0,则 ??1,若X?0?方差D?Y??______.A 8911A. B. C. D. 9898 四、解答题 ?Ax2?Bx,0?x?1,1. 已知X的概率密度为f(x)??其中A,B是常数,且E?X??0.5. 0,其它??1?求 A,B ?2?设Y?X2,求E?Y?,D?Y?. 2.设随机变量?只能取非负整数值,P???k??ak?1?a?k?1,a?0为常数,求 E?及D?. 3.将编号分别为1~n的n个球随机地放入编号分别为1~n的n只盒子中,每盒一球. 若球的号码与盒子的号码一致,则称为一个配对.求配对个数X的数学期望与方差. 4.设随机变量X~N??,?2?,求X的3阶和4阶中心距. 5.甲、乙两射手，某次射击时命中环数的分布律如下：（X、Y分别表示甲、乙的命中环数） X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 a 0.1 0.1 P 0.6 P 0.7 b 0.1 0.1 请解答下述问题：（1）求出a,b的值；（2）从平均命中环数的角度评价谁的成绩好？（3）从发挥的稳定性角度比较二人谁的稳定性更好？ 35 协方差与相关系数 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1.随机变量X和Y的?XY?0表示X和Y相互独立.× 2.当?X,Y?服从二维正态分布时,X和Y不相关等价于X和Y相互独立√. 3.随机变量X和Y有cov?X?Y,?Z??cov?Y,Z??cov?X,Z?成立.√ 4.当Cov?X,Y??0时,表示随机变量X和Y毫无关联.× 5.当Cov?X,Y??0时,表示随机变量X和Y变化的方向相反.√ 6.随机变量X和Y的相关系数和X的量纲相同.× 7.相关系数?XY是仅描述随机变量X和Y的线性相关程度.√ 8.相关系数?XY的值越小表示随机变量X和Y的线性相关程度越小.× 二、填空题 1、 三、单项选择题 1. 下列有关方差的性质，说法错误的是（ C ） A、D(c)?0，c是常数 B、D(X?c)?D(X)，c是常数 C、D(cX)?cD(X)，c是常数 D、若X、Y是两个相互独立的随机变量，则D(X?Y)?D(X)?D(Y) 2.将一枚均匀的硬币重复投掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于（ A ） 1A. ?1 B. 0 C. D. 1 23.设随机变量?,?相互独立,又X?2??5,Y?3??8.则下列结论错误的是（ AB ） A. D?X?Y?=4D??4D? B. D?X?Y?=4D??4D? C. ?XY=0 D. E?XY??E?X?E?Y? 4.对于任意两个随机变量X和Y,若E?XY?=E?X??E?Y?,则（ B ） 36 A. D?XY?=D?X??D?Y? B. D?X?Y?=D?X?+D?Y? C. X和Y独立 D. X和Y不独立 5.设随机变量X和Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y,则随机变量U与V必然（ D） A. 不独立 B. 独立 C. ?XY?0 D. ?XY?0 6.设X,Y是两个随机变量,满足D?X?Y??D?X?Y?,则X与Y（ A ） A. 不相关 B. 相关 C. 不独立 D. 独立 7.对于两个独立同分布的随机变量X和Y,其方差D?X?存在,则下列叙述正确的是（ B ） A. D?XY?=DX?DY B. E?X2???EX?=E?Y2???EY? C. Cov?X,Y??0 D. EX?EY 22四、解答题 1.已知二维随机变量?X,Y?的联合分布律为 X Y 1 0 1 p 0 0 0 q 其中0?p?1,p?q?1.求Cov?X,Y?,?XY. 2.箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个.现从箱中随机地取出2个球,记X为取出红球个数,Y为取出的白球个数.求Cov?X,Y?. 3.已知二维随机变量?X,Y?的联合概率密度函数为 ??1, y?x,0?x?1,f?x,y??? 0, 其他.??求E?X?,E?Y?,Cov?X,Y?,并判断X,Y是否独立. 4.设随机变量?X,Y?在圆域x2?y2?r2上服从联合均匀分布. ?1?求?X,Y?的相关系数?XY;?2?问X和Y是否独立? 37 单元测验三 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1.随机变量的数学期望都是存在的. （ × ） 2.随机变量X的数学期望和方差量纲相同. （ × ） 3.数学期望定义中的绝对收敛不能改为收敛或条件收敛. （ √ ） 4.设X和Y是两个随机变量,若E?XY??E?X??E?Y?,则X和Y相互独立. （ × ） 5.设随机变量X~N??,4?,则Var?X??2. （ × ） 6.方差是描述随机变量取平均值的一个数字特征. （ ×） 7.设X和Y是两个随机变量,若X和Y相互独立,则D?X?Y??D?X??D?Y?. (√ ) 8.若随机变量?服从正态分布,则??E???Var???~N?0,1?. ( √ ) 9.当Cov?X,Y??0时,表示随机变量X和Y变化的方向相反. ( × ) 10.随机变量?的方差就是?的二阶中心矩. ( √ ) 二、单项选择题 1.已知E(X)??1，D(X)?3，则E[3(X2?2)]?（ B ） A、9 B、6 C、30 D、36 2.对离散型随机变量X,若有P?X?xk??pk,k?1,2,3,,则当（B ）时, ?xk?1??kpk称为X的数学期望. ??A. ?xkpk收敛 B. ?xkpk收敛 C. ?xn?为有界函数 D. limxkpk?0 k?1k?1k?????3.设10个电子管的寿命Xi,i?1,2,,10独立同分布,且D?Xi??M,i?1,2,,10, 则10个电子管的平均寿命Y的方差D?Y??（ B ） A. M B. 0.1M C. 0.2M D. 10M 4.设随机变量?X,Y?的方差D?X??4,D?Y??1,相关系数?XY?0.6,则方差C D?3X?2Y??___________. 38 A. 40 B. 34 C. 25.6 D. 17.6 5.人的体重为随机变量X,E?X??m,D?X??n,10个人的平均体重记为Y,则（ A） A. E?Y?=m B. E?Y?=0.1m C. D?Y?=0.01n D. D?Y?=n 6.设则PX???1?2n?1,n?1,2,,则E?X??________.C 2nA. 2 B. 1 C. 不存在 D. ln2 ?n?7.已知随机变量X和Y相互独立,则Cov?X2?1,Y2?1??__________.D A. ?1 B. 1 C. 不确定 D. 0 8.设随机变量?X,Y?服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX?x?,fY?y?分别表示X,Y的边缘概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度 fXY?xy??_____.A fX?x? A. fX?x? B. fY?y? C. fX?x?fY?y? D. fY?y?9.设随机变量X服从参数为?的指数分布,则PX?DX?_______.C ??A. ln? B. 11 C. D. e ln?e10.对随机变量X,Y,已知3X?5Y?11,则X和Y的相关系数?XY?_______.D A. 0 B. 1 C. 不确定 D. ?1 11. 下列有关期望、方差的性质，说法错误的是（ D ） A、E(c)?c，c是常数 B、D(X?c)?D(X)，c是常数 C、设X、Y是两个随机变量，则E(X?Y)?E(X)?E(Y) D、若X、Y是两个随机变量，则D(X?Y)?D(X)?D(Y) 三、解答题 1.设某项试验成功的概率为p?0?p?1?,现将试验重复独立地进行,直到试验成功为止.用X表示所需的试验次数.求E?X?和D?X?. 2、设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命（单位：小时）X和Y的分布律分别为： 39 X 900 1000 1100 Y a P 0.1 0.8 P 请求出啊a,b的值，并判断哪家厂的灯泡质量更好？ 3.设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度为 950 0.3 1000 0.4 1050 b ?12?x(1?3y),0?x?2,0?y?1,f(x,y)??4 ?0,其它?求E?X?,E?Y?,E?X?Y?,E?XY?,E?YX?. 4.设离散型随机变量X的分布函数为 ?0, x ?0.6, 0?x<2,??1, x?2?1?2,EX,D?X?. 求E?X?,E?????X?1?5.设随机变量X1,X2,1n,Xn相互独立,均服从正态分布N?0,1?,记X??Xi. ni?1求CovX1,X和DX1?X. 6.设随机变量X和Y独立同服从参数?为的泊松分布,令U?2X?Y,V?2X?Y. 求随机变量U和V的相关系数?UV. 7.某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现在从中任取一件产品,记 ?????1, 抽到i等品,Xi?? i?1,2,3 ?0, 其他.求相关系数?X1X2. 40 第四章 大数定律及中心极限定理 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、切比雪夫大数定律成立的条件强于辛钦大数定理 （ √） 2、伯努利大数定律是切比雪夫大数定理的特殊情况 （ × ） 3、伯努利大数定律是通过频率来近似计算概率的理论基础 （ √ ） 4、中心极限定理表明二项分布的极限分布不可能是正态分布 （ × ） 5、中心极限定理是研究在什么情况下随机变量和的分布是正态分布 （√ ） 6、大数定律和中心极限定理研究的是同一类型的问题. （ × ） 7、大数定律和中心极限定理是统计学的理论基础. （ √ ） 二、填空题 1、将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 0.02275 。 2、在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 正 正态分布 为极限这一类定理称为中心极限定理。 3、在天平上重复称量一重为a的物体，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)，若以Xn表示n次称重结果的算术平均值，则为使 P(Xn?a?0.1)?0.95，n的最小值应不小于自然数 16 。 1，某商店从该厂任意选购600061个这种元件，这6000个元件中合格品的比例与之差小于1％的概率是 60.9624 。 5、某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02。假设各台机器工作是相互独立的，机器出故障的台数不少于2的概率为 0.99379 。 三、单项选择题 4、已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占 1、 设随机变量?服从参数为n，p的二项分布，则当n??时，P(a???b)?（ C ）。 (A)?(b)??(a) (B)?0(b)??0(a) (C)?(b)??(a) (D)2?0(b)?1 2、设?为服从参数为n，p的二项分布的随机变量，则当n??时， ??np npq 一定 服从（ D ）。 (A)正态分布。 ( B)标准正态分布。 (C)泊松分布。 ( D)二项分布。 3、设随机变量X的期望和方差分别为?和?2，则P{|X??|?3?}的最小值为： 41 （ D ） (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/6 (D) 1/9 4、设随机变量序列X1,X2,?,Xn,?相互独立，且均服从[a,b]区间上的均匀分布， 1n则平均值X??Xi依概率收敛于（ A ） ni?1(b?a)2a?ba?b2b?aA、 B、 C、( ) D、 122225、设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，Yn?X1?X2???Xn. 当n充分大时， Yn近似服从正态分布，只要X1,X2,?,Xn满足（ D ） A、有相同的数学期望 B、有相同的方差 C、服从同一离散型分布 D、服从同一指数分布 四、解答题 1、已知某城市环保部门在市区内移植了1000棵银杏树，每棵树成活的概率为0.9，且每棵树是否成活相互独立，试估计能够成活树的数量在850~950棵之间的概率. 2、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生次数在450至550次之间的概率。 3、在一零售商店中，其结帐柜台为各顾客服务的时间（以分计）是相互独立同分布的随机变量，均值为1.5，方差为１． (1) 求对100位顾客的总服务时间不多于２小时的概率。 (2) 要求总的服务时间不超过１小时的概率大于0.95，问至多能对几位顾客服务． 4、某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 5、某商店负责供应某地区10000人商品，某种商品在一段时间内每人需用一间的概率为0.6，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7％的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。 6、 一复杂的系统由100个相互独立工作的部件构成，每个部件正常工作的 概率为0.9，已知系统中至少有85个部件正常工作，系统才能正常工作，求系统正常工作的概率。 42 第五章 数理统计的基本概念 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、统计量仅通过样本数据就可以计算出其数值. （ √ ） 2、来自正态总体的样本均值仍然服从正态分布. （ √ ） 3、随便从总体中抽取一些样本就能够保证其具有代表性. （ × ） 4、当学生分布中的自由度比较大的时候，学生分布近似正态分布.（ ×） 5、卡方分布是正态分布随机变量和的分布. （ × ） 二、单项选择题 2N(N,?)，?1、设总体服从正态分布其中?已知，?未知，?1,?2,?3是取自总体?的一个样本，则非统计量是 ( D ). 1(?1??2??3)A、3 B、 ?1??2?2? C、 max(?1,?2,?3) 1222(???2??3)21 D、? 211nS?(?i??)2?2?,?,??n是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本n?1i?12、设12， 1121n2222S?S3?(?i??)S2??(?i??)4nn?1ni?1i?1，， ?n?(?i?1ni??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是( B ). ????????????A、S1/n?1 B、S2/n?1 C、S3/n D、S4/n 2?~N(1,2)，?1,?2,??n为?的样本，则样本均值满足( C ). 3、设 ??1A、2~N(0,1)??1 B、4~N(0.1) ??1C、2/n~N(0,1)??1 D、2/n~N(0,1) 4、设总体X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是取自总体的一个样本，则样本均值X服从（ C ） 43 A、N(?,?) B、N(0,1) C、N(?, 2?21) D、N(0,) nn?,?,??n?,S分别是样本的均值和样本标准差，4、设12是总体?~N(0,1)的样本， 则有( C ) A、n?~N(0,1) B、?~N(0,1) C、i?1??n2i~x2(n) D、?/S~t(n?1) 5、简 单 随 机 样 本 X1,X2,? ,Xn来 自 某 正 态 总 体，X 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。 ( A ) X与?(Xi?X)2独 立 ( B ) Xi,Xj独 立 ( i,j互不相同) i?1n( C ) ?Xi,?Xi2独 立 ( D ) Xi,Xj2独 立 ( i,j互不相同) i?1i?1nn2X, X, ?,XX,X~N(?,?), Y1,Y2,?,Yn2 来自总体12n1116、设 ， 来自总体 1X?22n1Y，Y~N(?,?2)， 且 X 与 Y 独 立。 2S1n11?Xi,, Y?ni?12n1?Yi,,i?1n2 1?n1?(Xi,?X)i?1n12, S22n21?n2?(Yi,?Y)2,i?1n21 则如下结论中错误的是 ( X )。 ( A ) ??[(X?Y)?(?1???2)]2?1?22n1?n2~N(0,1) ( B ) 2Sn1(n2?1)?21n1???2?~F(n1?1, n2?1)22n2(n1?1)?1S2n2 ??( C ) 2n1S1n12?1?n2S22n2?22~?2(n1? n2?2) ??( D ) 三、解答题 n1? n2?2???~t(n1? n2?2) 21、在总体X~N(30,2)中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在 44 29到31之间取值的概率. 22、设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,?)(单位：小时)，抽取一容量 为9的样本，其均方差S?100，问P(X?940)是多少？ 为总体X~N(0,0.5)的一个样本，求 ,X10223、设 X1,X2,?X7P(?Xi?172i?4). 2X~N(0,2), X1,X2,4. 设总体 为来自总体X的样本. 令 2??5??10Y???Xi????Xj??i?1??j?6?. 2?试确定常数C, 使CY服从分布, 并指出其自由度. 5、 设X,Y 是 取 自 母 体N(?,?2)，容 量 为 n的 两 个 相 互 独立 的 样 本X1,X2,...,Xn及Y1,Y2,...,Yn的 均 值 ，试 确 定n， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 ? 的 概 率 大 约 为 0.01 。 ( ?(2.58)?0.995 ) 查表求：t0.025( 50 )，t0.,05( 100 )，F0.975( 10，20)，F0.025( 30 ) 45 单元测验四 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、大数定律是研究概率接近0或1的随机现象的统计规律. （ × ） 2、 中心极限定理是研究许多彼此不相干的随机因素共同作用的统计规律. （ √ ） 3、 来自正态分布总体的样本的方差仍服从正态分布. （ × ） 4、统计量的分布被称为抽样分布，其实质是随机变量函数的分布. （√ ） 二、填空题 1、在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103， 105，106（单位：斤），样本均值 100 ，子样方差为 42.5 。 2、某种系统元件的寿命服从参数为1/10的指数分布，随机抽取10件，若10 样本相互独立，则10件产品寿命总和大于15小时的概率为 0.996 。 3、若样本X1,X2,...,Xn是来自参数为?的指数分布的样本，则X1,X2,...,Xn的联合概率密度函数为 。 三、单项选择题 1、设随机变量?服从参数为?的泊松分布，则P{|X??|??}的上界为（ B ） (A) ? ( B)1/? (C) ?2 ( D) 1/?2 2、设X1,X2,...,Xn是来自正态总体N(?,?2)的一个样本，X,S分别是样本的均值和样本标准差,则X??服从下面哪种分布（ D ） S/n(A) 正态分布 (B) 泊松分布 (C) 指数分布 (D) 学生t分布 3、设X1,X2,?Xn是来自总体X~N(?,?2)的样本，其中?已知，?2未知，则下述变 量不是统计量的是（ C ） A、minXi B、X?? C、 1?i?n??i?1 n Xi D、u2?(Xi?1n2i??2)2 4、投掷硬币900次，出现正面次数在420次到480次之间的概率不会小于（D ） (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25 5、设总体X~N(2,1)，X1,X2,?,X9是取自总体的一个样本，则样本均值X服从（ A ） 11A、N(2,) B、N(0,1) C、N(2,1) D、N(2,) 93 46 6、设X1,X2,?Xn是来自总体X~N(?,?2)的样本，其中?已知，?2未知，则下述变量不是统计量的是（ D ） X1??1nX?E(X)2X?XXA、 B、 C、 D、 ?in123n?1i?1? 四、解答题 1、一个复杂的系统，由n个相互独立的部件所组成。每个部件的可靠性都为0.9，在整个运行期间，至少需要80％部件工作，才能保证整个系统正常运行。问n至少为多大时才能使系统的可靠度（即系统正常工作的概率）为0.95。 2、设X1,X2,X3,X4和Y1,Y2,Y3,Y4,Y5分别是来自标准正态分布N(0,1)的总体X与Y 的样本, Z??(Xi?X)??(Yi?Y)2,求EZ 2i?1i?1453、设X1,X2,...,Xn是来自正态总体N(?,?2)的一个样本，Sn为样本标准差，求 P{Sn2?2?1.5}?0.95的最小n值。 47 第六章 参数估计 点估计 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、点估计就是用样本的某一个函数值作为总体参数的估计值。（ √ ） 2、矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩。（ √） 3、极大似然估计法的基本思想是：在已经得到实验结果的情况下，应该找使这个结果出现的可能性最大的那个?值作为?的估计。（ √ ） 二、填空题 1、设总体X在区间[0,?]上服从均匀分布，则未知参数?的矩估计量为________。 2、设总体X服从几何分布，它的概率分布为 P{X?x}?(1?p)x?1p,x?1,2,?,(0?p?1) p为未知参数，则p的矩估计量为________；p的极大似然估计量为________。3、设总体X以概率 三、单项选择题 1取值1,2,?,?，则未知参数?的矩估计量为________。 ??1?,0?x??1、设总体X的分布密度为f(x)???，1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1为来自这一 ?0, 其他?总体的一组样本观察值，则?的矩估计值为（ D ）。 （A）1.2 （B）0.6 （C）0.8 （D）2.4 2、总体X的均值?与方差?2的矩估计为（A ）。 1n1n2(Xi?X)2 （A）X,?(Xi?X) （B）X,?n?1i?1ni?1（C）X,X2 （D）X,3、设总体X的概率分布为： X0 X 21 2 3 p ?2 2?(1??) ?2 1?2? 48 样本观察值为3,1.3,0,3,1,2,3，（其中0???（A） 1），那么?的极大似然估计为（ A ）。 27?137?137?13 （B） （C） （D）以上都不是 1212124、设0,1,0,1,1为来自二项分布B(1,p)的样本观察值，则p的矩估计值为（C ）。 （A）15 （B）25 （C）345 （D）5 四、解答题 1、设在n次独立试验中，事件A发生k次。 （1）求事件A发生的概率p的矩估计量； （2）求事件A发生的概率p的极大似然估计量。 2、设总体X的概率密度为 ?f(x,?)??6x??3(??x),0?x??， ??0, 其它X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本。 （1）求?的矩估计量??； （2）求??的方差D(??)。 3、设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，x1,x2,?,xn为相应的样本值，率密度为 ???c?x?(??1)f(x,?)?,x?c0, ， ? 其它其中c?0为已知，??1，?为未知参数。求?的极大似然估计量。 49 X的概估计量的评价标准 班级 姓名 学号 一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、估计量的无偏性是指估计值与真值相等。（ × ） 2、估计量的无偏性是指估计量没有系统偏差。（ √ ） ?)??，则??是?的估计量，且E(??是?的无偏估计量。3、如果?（ √ ） 4、样本均值是总体均值的无偏估计量。（√ ） 5、样本方差是总体方差的无偏估计量。（ √ ） 二、填空题 1、在处理快艇的6次试验数据中，得到下列最大速度值（单位：m/s）： 35,31,30,37,27,38，则最大艇速的数学期望的无偏估计是__33______；最大艇速 的均方差的无偏估计是_______3.07_。 2、设总体X服从参数为?的指数分布，其中??0为未知，X1,X2,?,Xn是来自 1总体X的样本，则统计量X，(X1?X2?X3)，nZ?nmin{X1,X2,?Xn}?nX(1)3都是参数?的______无偏__估计量，其中___x-_____是?的较有效估计。 3、若??1和??2分别是参数?的两个独立的无偏估计量，且??1的方差是??2的方差的 ??B??是?的无偏估计量，4倍，则A＝______1/5__，B＝_____4/5___时，A?12并且在所有这样的线性估计中最有效。 三、单项选择题 ?)?0，那么??2?(??)2为?2的（ B ）估计。 ?为?的无偏估计，且D(?1、设?（A）无偏估计 （B）有偏估计 （C）有效估计 （D）相合估计 2、设从均值为?，方差为?2?0的总体中，分别抽取容量为n1,n2两个样本， X1,X2分别为样本均值，那么Y?aX1?bX2,(a?b?1)为?的（A ）。 （A）无偏估计 （B）有效估计 （C）有偏估计 （D）相合估计 3、对于部体未知参数?，用矩估计和极大似然估计所得估计量（ C ）。 （A）总是相同 （B）总是不同 （C）有时相同有时不同 （D）总是无偏的 4、设总体X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体X的样本，则下列关于?的4个无偏估计量是最有效的是（ B ）。 50