【分析】(1)中易证BD⊥PA,要借助AB=BC与∠ABC=120°说明BD⊥AC,即位
PG置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求GC的值,即先分别求得PG,GC的值,
这要借助勾股关系与方程思想.
【解答】(1)由已知得△ABC是等腰三角形,且底角等于30°.由AB=BC,AD=CD,BD=DB,得△ABD≌△CBD,所以∠ABD=∠CBD=60°,且∠BAC=30°,所以BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥PA. 又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
22PA?AC(2)由已知得PC==3?12=15,
因为PC⊥平面BGD,GD?平面BGD,所以PC⊥GD. 在△PDC中,PD=设PG=x,则CG=3?7=10,CD=7,PC=15, 15-x,
所以PD2-PG2=CD2-CG2, 即10-x2=7-(15-x)2,
315215所以PG=x=5,CG=5,
PG3所以GC=2.
【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外,借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上,即有勾股关系的适当介入.
变式 (2015·广东卷)如图,△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂
直,且PD=PC=4,AB=6,BC=3.
(1)求证:BC∥平面PDA;
(2)求证:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离.
(变式)
【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC?平面PDA,AD?平面PDA, 所以BC∥平面PDA.
(2)因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD.
因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.
因为PD?平面PDC,所以BC⊥PD. (3)取CD的中点E,连接AE和PE, 因为PD=PC,所以PE⊥CD.
22224-3=7.因为平面PDC⊥平面ABCD,平PD-DE在Rt△PED中,PE==面PDC∩平面ABCD=CD,PE?平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.
由(2)知,BC⊥平面PDC,由(1)知,BC∥AD, 所以AD⊥平面PDC.
因为PD?平面PDC,所以AD⊥PD. 设点C到平面PDA的距离为h, 因为
V三棱锥CPDAV三棱锥PACD=
,
11所以3S△PDA·h=3S△ACD·PE,
1?3?6?72SACD·PE371?3?4即h=SPDA=2=2,
37所以点C到平面PDA的距离是2.
【课堂评价】
1.若α,β是两个相交平面,直线m?α,则在平面β内, 与直线m垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”) 【答案】存在
【解析】若m与两个平面的交线平行或m为交线,显然存在;若m与交线相交,设交点为A,在直线m上任取一点B(异于点A),过点B向平面β引垂线,垂足为C,则直线BC⊥平面β,在平面β内作直线l垂直于AC,可以证明l⊥平面ABC,则l⊥m.
2.(2016·全国卷Ⅱ)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β; ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n; ③如果α∥β,m?α,那么m∥β;
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题是 .(填序号) 【答案】②③④
【解析】对于①,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故①错误;对于②,因为n∥α,所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c,因为
m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知其正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.
3.(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N分别为AB,PA的中点. (1)求证:PB∥平面MNC;
(2)若AC=BC,求证:PA⊥平面MNC.
(第3题)
【解答】(1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB. 因为MN?平面MNC,PB?平面MNC,所以PB∥平面MNC. (2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN. 因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,CM?平面ABC,所以CM⊥平面PAB.
因为PA?平面PAB,所以CM⊥PA.
因为PA⊥MN,MN?平面MNC,CM?平面MNC,MN∩CM=M, 所以PA⊥平面MNC.
4.(2016·镇江期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD=PC,底面ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点. (1)求证:AM∥平面PBC; (2)求证:CD⊥AP.