则?1,?2,?3为V1 的标准正交基。

8. 求齐次线性方程组

的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基。

解 由

可得基础解系为

?1?(1,0,0,?5,?1)，?2?(0,1,0,?4,?1)，?3?(0,0,1,4,1)，

它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得

?1??1?(1,0,0,?5,?1)，

?1)2??(?2,?2?(?)?11?9(?7,9,0,?1,?2)1,?1?(?3,?1)3??3?(???(?3,?2)(??112?(7,6,15,1,2)，

1,?1)2,?2)15再将?1,?2,?3单位化,可得

?1?133(1,0,0,?5,?1)，?2?1315(?7,9,0,?1,?2)，?3?1335(7,6,15,1,2)，，

则?1,?2,?3就是所求解空间的一组标准正交基。

9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=??1f(x)g(x)dx 求R[X]4的一组标准正交基(由基1.?,?2,?3出发作正交化)。

1解 取R[X]4的一组基为?1?1,?2?x,?3?x2,?4?x3,将其正交化,可得?1??1?1，

?2??2?(?2,?1)?1?x，其中(?2,?1)???11x?1dx?0，又因为

(?1,?1)(?3,?1)?(?2,?2)???1x2dx?12， 3(?1,?1)???11?1dx?2， (?3,?2)???1x2?xdx?0，

11所以?3??3?(?3,?1)(?,?)1?1?32?2?x2?，

(?1,?1)(?2,?2)3 同理可得?4??4?(?,?)(?4,?1)(?,?)3?1?42?2?43?3?x3?x，

(?1,?1)(?2,?2)(?3,?3)5再将?1,?2,?3,?4单位化，即得?1?1?1?1?2， 2 ?2?1?2?2?10146(3x2?1)，?4?(5x3?3x)， ，?3?442x则?1,?2,?3,?4即为所求的一组标准正交基。

10.设V是一n维欧氏空间,??0是V中一固定向量,

1)证明:V1?{x|(x,a)?0,x?V}是V的一个子空间；

2)证明:V1的维数等于n-1。

证 1)由于00?V1,因而V1非空.下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取x1,x2?V1,

则有 (x1,?)?(x2,?)?0，于是又有(x1?x2,?)?(x1??)?(x2??)?0，

所以x1?x2?V1。另一方面，也有 (kx1,?)?k(x1,?)?0， 即kx1?V1。故V1是V的一个子空间。

2)因为??0是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基?,?2,L?n，且(?i,?)?0 (i?2,3,?n)，?i?V1(i?2,3,Ln)。下面只要证明:对任意的??V1,?可以由?2,?3,??n线性表出，则V1的维数就是n?1。

事实上，对任意的??V1，都有??V，于是有线性关系??k1??k2?2???kn?n，且

(?,?)?k1(?,?)?k2(?2,?)???kn(?n,?)，

但有假设知 (?,?)?(?i,?)?0(i?1,2,?,n)，

所以k1(?,?)?0，又因为??0，故k1?0，从而有??k2?2???kn?n，

再由?的任意性，即证。

11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

证：1）设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是A?(aij)和B?(bij)，另外，设?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵为C?(cij)，即

??1?c11?1?c12?2???c1n?n?????????????? ， ???c??c????c?n11n22nnn?n =?cki(?k,c1j?1???cnj?n)

k?1n =??ckicsj(?k,?s)

k?1s?1nn =??ckicsi?ks，

k?1s?1nn另一方面,令

D?C'A?(dij),C'AC?DC?(eij)，