4在R4中求一单位向量与?1,1,?1,1?,?1,?1,?1,1?,?2,1,1,3?正交。

解 设???x1,x2,x3,x4?与三个已知向量分别正交，得方程组

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?x4?0， ?2x?x?x?3x?0234?1因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令

x3?1?x1?4,x2?0,x4??3，即???4,0,1,?3?。

再将其单位化，则

??11?4,0,1,?3?， ??a26即为所求。

5．设?1,?2,???n是欧氏空间V的一组基，证明：

1）如果??V使??,?i??0?i?1,2,??,n?,，那么??0。

2）如果?1,?2?V使对任一??V有??1,?????2,??，那么?1??2。

证 1)因为?1,?2,???n为欧氏空间V的一组基，且对??V，有

??,?i??0?1,2,??,n? ，

所以可设??k1?1?k2?2???kn?n，

且有

即证??0。

2)由题设，对任一??V总有??11?????2,??，特别对基?i也有

??11?i????2,?i?，或者??1??2,?i??0?i?1,2,??,n?，

再由1)可得?1??2?0，即证?1??2。

6设?1,?2,?3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

也是一组标准正交基。

证 因为

?1?4?(?2)?(?2)??0， 9同理可得

??1,?3????2,?3??0，

另一方面

?19(4?4?1)?1， 同理可得

??2,?2????3,?3??1，

即证?1,?2,?3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设?1,?2,?3,?4,?5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基, ?1??1??5 , ?2??1??2??4 , ?3?2?1??2??3，

求V1 的一组标准正交基。

解 首先证明?1,?2,?3线性无关.事实上，由

V1?L??2,?2,?3?，其中

?1??0(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3,?4,?5)?0??0?1?2???11?01?，

?10?00??1?11??0?1其中 A??00??01?10?2??1?1?的秩为3，所以?1,?2,?3线性无关。 ?0?0??将正交化，可得

?1??1??1??5，

?2??2?(?2,?2)11??1??2??4??5(?1,?1)22，

单位化，有

?1?2(?1??5)， 2?2?10(?1?2?2?2?4??5)， 10?3?(?1??2??3??5)，

12