?1X'X?X'AX??nX'X。

8．设二次型f(x1,x2,?xn)对应的矩阵为A，?是A的特征多项式的根，证明：

存在R中的非零向量(x1,x2,?xn)使的

n???f(x1,x2,?xn)??(x1?x2???xn)。

????2?2?2?证 设?是矩阵A的特征值，则存在非零向量，使

?????，

其中??(x1,x2,?xn)，于是有

???f(x1,x2,?xn)?????????????(x1?x2???xn)???''?'?2?2?2，

即证。

9．1）设?,?是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使

?(?)??。

2）证明：n维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

证 1）记n维欧氏空间为V，当?为欧氏空间为V的单位向量时，由

A(?)???2(?,?)?(??V)，

所确定的正交变换A是一个镜面反射，代入单位向量?，有A(?)???2(?,?)?,

若记????2(?,?)?，则????2(?,?)?，因为?,?是欧氏空间中两个不同的

单位向量，所以(?,?)?0，故可解得?????, 2(?,?)其中 (?,?)?(???11,?)?[1?(?,?)]，即(?,?)2?[1?(?,?)]， 2(?,?)2(?,?)2于是只要取?????，就有??,??=1，即?为欧氏空间V中的单位向量，

2?1???,???从而?是一个镜面反射，且????=??2??,???=?。

2)设?是维欧氏空间V的任一正交变换，取V的一组标准正交基?1,?2,?,?n，

则?1=???1?，?2=???2?，?,?n=???n?也是V的一组标准正交基。

此时，若?1??1,?2??2,?,?n??n，则A是一个恒等变换，只要作镜面反射

A1(?)???2(?1,?)?1(???V)，

则有 A1(?1)???1,A1(?j)??j(j?2,3,?,n)且A?A1A1，结论成立。

若?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n不全相同，不妨设?1??1,则?1,?1为两个不同的单位向量，由1)知,存在镜面反射A1,使A1(?1)??1.令A1(?j)??j(j?2,3,?,n),若?j??j(j?2,3,?,n),则A?A1,结论成立。否则可设?2??2，再作镜面反射：A2(?)???2(?,?)?(???V),其中

???2??2,则A2(?)??2且A2(?1)??1，如此继续下去，设

2[1?(?2??2)]AAA?1,?,?n????1,?2,?,?n????1,?2,?2,?,?n????????1,?2,?,?n，

12s则A?AsAs?1?A2A1，其中Aj(j?1,2,?,s)都是镜面反射，即证。

10.设A,B是两个n?n实对称矩阵，且B是正定矩阵，证明:存在一个n?n实可逆矩阵T使

T'AT与T'BT同时为对角形。

证:因为B是正定矩阵，所以存在一个n阶实对称矩阵C，使:C'BC?E，其中E为n阶单位矩阵，又因为C'AC还是n阶实对称矩阵，所以也存在一个n阶正交矩阵Q，使

Q'(C'AC)Q?diag{?1,?2,?,?n}，其中?1,?2,?,?n为C'AC的特征值，于是，只要令T?CQ，

就有T'AT?Q'(C'AC)Q?diag{?1,?2,?,?n},

且 T'BT?Q'(C'BC)Q?Q'Q?E， 即证。

11.证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。

证:设?1,?,?n与?1,?2,?,?n分别为酉空间V中两组标准正交基，且

?1,i?j则 (?i,?j)?(?i,?j)??。

?0,i?j于是，a1ia1j???anianj?(a1i?1?a2i?2???ani?n,a1j?1?a2j?2???anj?n)

即?'???,所以过渡矩阵?是酉矩阵。

? 12．酉矩阵的特征值根的模为1。

证 因为酉矩阵A对应的变换是酉变换?，设?的任一特征值是?，?是?的对应于?的特征向量，则

（?，?）=（??,??)=（??,??）=??(?,?)，

?注意到（?，?）?0，因而有

??=1，

?即??1。