于是?1,?2，?,?r线性无关。

另一方面，因

?1,?2,?,?m中的任一向量?i?i?1,2,?,m?都可以由它的极大线性无关组?1，?2，?，?r线性表出，即?i?k1?1?k2?2???kr?r?i?1,2,?,m?，

于是，在?1,?2,L?m中任取?i?i?1,2,L,m?,由??i,?j????i,?j?,即知

??i?k1?1?k2?2???kr?r,?i?k1?1?k2?2???kr?r?0，

?从而?i??kt?t,即证?1,?2,L,?r是?1,?2,L,?m的一个极大线性无关组。

t?1r再将?1,?2,?,?r正交单位化,可得单位正交的向量组?1,?2,?,?r,且

??1,?2,?,?r????1,?2,?,?r?T其中T为上三角矩阵,且对角线元素都是正实

数.于是只要令:(?1,?2,?,?r)???1,?2,?,?r?T，

则由充分性假设

两组标准正交基 ?1,?2,?,?n和?1,?2,??n,则存在可逆线性变换?，使

??i??i(i?1,2,?,n)，

且

（?1?2??r)T=(?1,?2,??n)=(??1,??2,???r)

=?(?1,?2,??r)??(?1,?2,??n)T

=(??1,??2,???n)?，

即

??i??i（I=1,2,?,r)，

于是??i(i?1,2,?m)，由?i???t?t，有?i???t?t,故

i?1i?1rr =?1?1??2?2???n?r

=?i(I=1,2,?,m)，

即证。

6．是n级实对称矩阵，且?2??,证明：存在正交矩阵T使得

??r??????0??10??。 ??r?? 证 证法1 因为A是n级实对称矩阵，所以存在n级矩阵Q，使

Q?1?Q?diag{?1,?2,?,?n}，

其中?1,?2,?,?n为?的n个特征值（重根按重数列出）。于是

又因为?2??,所以

22??Q?1EQ?Q?1A2Q?diag{?1,?22,??n}。

因此有?i=?1（I=1,2,?,n），不妨设?i=1的重数为r，则?i??1的重数为n-r。只要将

?i?1集中排列在前面，则有正交矩阵T，使

??r??????0??1??。 ??n?r??0 证法2 因为n级实对称矩阵，且?2?E,若令g(x)=?2?1,则g(x)为

A的零多项式，且它无重根，故A相似于对角矩阵，设?为A的任一特征

值，则???1。不妨设?i??1的重数为n-r。只要 将?i?1集中排列在前

面，则有正交矩阵?，使

??r??????0??1??。 ??n?r??0 7．设f(?1,?2,?,?n)=XAX是一实二次型，?1,?2??n是A的特征多项式的根，且

'?1??2????n。证明：对任意一个X?Rn,有

?1?'???'????n?'?。

证 存在正交矩阵Q，使

Q'?Q?diag{?1,?2,?,?n}，

其中?1??2????n为?的n个特征值。作正交变换??QY,则实二次型可化为

22f(x1,x2,?xn)?X'AX?Y'Q'AQY??1y12??2y2????nyn，

由题设有???2????n，于是

2222?1Y'Y??1(y12?y2???yn)?X'AX??n(y12?y2???yn)??nY'Y，

且 X'X?(QY)'(QY)?Y'Y，

故