第九章 欧氏空间

1.设???aij?是一个n阶正定矩阵,而

??(x1,x2,?,xn), ??(y1,y2,?,yn),

在Rn中定义内积(?,?)?????,

1) 证明在这个定义之下, Rn成一欧氏空间；

2) 求单位向量

?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，

的度量矩阵；

3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见

(?,?)?????是Rn上的一个二元实函数，且

(1) (?,?)??????(????)?????????????(?,?)，

(2) (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，

(3) (???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)，

(4) (?,?)???????aijxiyj，

i,j由于A是正定矩阵，因此?aijxiyj是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有

i,j(?,?)?0。

2)设单位向量

?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，

的度量矩阵为

B?(bij)，则

?a11a12?a22?abij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?22(i)????a?n1an2?????0?a1n???????a2n???1(j)aij(i,j?1,2,?,n)， ????=，????ann???0???因此有B?A。

4) 由定义，知

(?,?)??aijxiyji,j??(?,?)?，

?axxijii,jj??(?,?)?，?ai,jijyiyj，

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在R4中,求?,?之间??,??(内积按通常定义)，设:

1) ??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)，

2) ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)，

3) ??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。

解 1)由定义,得

(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，

所以

??,????2。

2)因为

(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18，

(?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18，

(?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，

cos??,???181836?22，

所以

??,????4。

3)同理可得

(?,?)?3, (?,?)?17, (?,?)?3, cos??,???377，

?1??,???cos所以

377。

3. d(?,?)???? 通常为?,?的距离，证明；

d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。

证 由距离的定义及三角不等式可得

?d(?,?)?d(?,?)。