第九章 欧氏空间
1.设???aij?是一个n阶正定矩阵,而
??(x1,x2,?,xn), ??(y1,y2,?,yn),
在Rn中定义内积(?,?)?????,
1) 证明在这个定义之下, Rn成一欧氏空间；
2) 求单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
(?,?)?????是Rn上的一个二元实函数，且
(1) (?,?)??????(????)?????????????(?,?)，
(2) (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，
(3) (???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)，
(4) (?,?)???????aijxiyj，
i,j由于A是正定矩阵，因此?aijxiyj是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有
i,j(?,?)?0。
2)设单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵为
B?(bij)，则
?a11a12?a22?abij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?22(i)????a?n1an2?????0?a1n???????a2n???1(j)aij(i,j?1,2,?,n)， ????=，????ann???0???因此有B?A。
4) 由定义，知
(?,?)??aijxiyji,j??(?,?)?，
?axxijii,jj??(?,?)?，?ai,jijyiyj，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在R4中,求?,?之间??,??(内积按通常定义)，设:
1) ??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)，
2) ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)，
3) ??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。
解 1)由定义,得
(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，
所以
??,????2。
2)因为
(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18，
(?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18，
(?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，
cos??,???181836?22，
所以
??,????4。
3)同理可得
(?,?)?3, (?,?)?17, (?,?)?3, cos??,???377，
?1??,???cos所以
377。
3. d(?,?)???? 通常为?,?的距离，证明；
d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。
证 由距离的定义及三角不等式可得
?d(?,?)?d(?,?)。