《线性代数》练习题库

一、填空题

1．设A、B为n阶方阵，则(A?B)?A?2AB?B的充要条件是 AB=BA 。 2．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 n 。 3. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? PBQ 。

?1?1222??1221????4. 设A??21?2?2?，则R(A)? 2 。

????1?1?4?3?????1?112???5. 设矩阵A??3??12?，且R(A)?2,则??(5),??(1)。

?53?6???6. 设A为n阶矩阵，且A?1,则 R(A)?____n____。 7．设5阶行列式A?3,B??4，则ATB? -12 。

8. 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是A?0或

r(A)?n。

9.线性方程组有解Ax?b的充分必要条件是 r(A)?r(A,b) 。

10. A是n?n矩阵，对任何 bn?1矩阵，方程AX?b都有解的充要条件是 r(A)?n 或

A?0。（此题较难，大家可以不必掌握！）

11.若?1??2????s?0，则向量组?1,?2,?,?s必线性 相关 。 12.已知向量组?1?(1,2,3,4)，?2?(2,3,4,5)，?3?(3,4,5,6)，

?3?(4,5,6,7)，则该向量组的秩是 2 。

13. 设?1,?2,?,?m为n维向量组, 且R(?1,?2,?,?m)?n，则n?m。 14. n?1个n维向量构成的向量组一定是线性 相关 的。（无关，相关） 15.已知向量组?1?(1,0,1),?2?(2,2,3),?3?(1,3,t)线性相关，则t? __ （此题题目做了修改，大家注意！）

1

5_____。 2

二、计算题

12341.求行列式D?23413412的值。 D=160

412331?122.求行列式D??513?4201?1的值。D=40

1?53?313?513.求行列式

5?27?221?4?1的值。D=222

?3?4631?a1?14.计算n阶行列式

11?a?1n?1????=(n?a)a

11?1?axy0...000xy...005. 计算n阶行列式D...=xn?(?1)n?1n?...............yn

000...xyy00...0xxa?a6. 计算n阶行列式Dax?an?=(x?(n?1)a)(x?a)n?1????

aa?x?127.已知??(1,1,?1),??(1,2,3)，试求：①?T?=?3??123??? ；??1?2?3???0②??T??2=?00??000??。 ??000???00a??b11b12b13?8．设矩阵A???0a0??，B???bbb???c?212223?，C??0?a00????b31b32b33????0 2

00?c0??，0c??求

A2010BC2011=a2010c2011B.

??210??12?1?????1??1?13?2?是否可逆, 若可逆，则求出逆矩阵A=?3?9.判别矩阵A=?34。

?22??5?41???167?1??????0?21??634?????0?2?，用矩阵的初等变换求A的逆矩阵。A?1??423? 10.已知矩阵A=?3??23?946?0?????11.判别向量组?1=(0,0,2,3), ?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(1,0,1,0)是否线性相关，并求?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组。

?1,?2,?3,?4线性相关，?1,?2,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组（答案不唯

一）。

12.求向量组??(1,1,1)，??(1,2,3)，??(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。

。 ?,?为一个极大线性无关组，且??2???（答案不唯一）

13.求向量组?1?(1,?1,2,4)，?2?(0,3,1,2)，?3?(3,0,7,14)，

?5?(2,1,5,6)的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无?4?(1,?1,2,0)，

关组线性表出的表达式。

?1,?2,?4为极大无关组（答案不唯一），且?3?3?1??2,?5??1??2??4。

三、综合题

1.若n阶矩阵A满足A?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?=

2?1A。 22.若n阶矩阵A满足A?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?=A?3E。

2?13.设A为n阶方阵，A?5A?6E?0，判断A?3E与A?3E是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。

2A?3E一定可逆，且(A?3E)?1?8E?A。A?3E不一定可逆。 304.设?,?,?线性无关，证明???,???,???也线性无关。（参照书上例题）

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5.设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1,证明向量组?1,?2,?3,?4线性相关。

因为?1??2??3??4?0，所以线性无关。

?x1?x2?x3?1?6.确定?的值，使线性方程组?2x1?3x2??x3?3无解？有惟一解？有无穷多解？

?x??x?3x?223?1(1)当??2且???3时，方程组有唯一解；

(2)当??2时，有无穷多解； (2)当???3时，无解。

?(1??)x1?x2?x3?0?7.设非齐次线性方程组为?x1?(1??)x2?x3?3试问: ?取何值时，方程组无解？有唯一

?x?x?(1??)x??23?1的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。

(1)当??0且???3时，方程组有唯一解； (2)当??0时，无解；

??1?c???(2)当???3时，有无穷多解，通解为X???2?c?(c?R)。

?c???8. 期末考试5名同学4门考试成绩如下： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 数学 86 75 58 92 80 英语 92 89 95 75 86 政治 73 85 92 82 82 体育 78 81 90 85 85 4门课所占权分别为：30%、30%、20%、20%，则5名同学的排名为？

排名为 A, D, E, B, C。

9．某精密仪器厂生产甲、乙、丙三种仪器，生产一台甲种仪器需要7小时车工加工与6小时装配，销售后获得利润300元；生产一台乙种仪器需要8小时车工加工和4小时装配，销售后获得利润250元；生产一台丙种产品需要5小时加工和3小时装配，销售后获得利润180元。工厂每月可供利用的加工工时为2000小时，可供利用的装配工时为1200小时。又预测每月对丙种仪器的需求不超过300台。问工厂在每月内应如何安排生产，才能使得三种产品销售后获得的总利润最大？

（此题较难，大家可以不必掌握！）

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