第四节 数学概念的学习

（一）数学概念的意义和结构

数学概念是数学的“细胞”，一切数学内容基于数学概念之上，数学概念以及数学推理组成一切的数学形式．因此，数学概念是数学学习的基本要素．同时，学好数学概念也是学习数学基础知识、掌握数学思想方法的根本保证，是学会数学知识、提高数学能力、数学素养的关键所在．

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数学概念及其意义

（1） 概念的本质

概念是指反映事物本质属性的思维形式．所谓本质属性，客观事物中，存在着各种各样的个别事物，这些事物各有许多性质，如形状、颜色、气味、大小、在……之间等，事物的性质和事物间的关系统称为事物的属性。属性可分为本质属性和非本质属性两种。所谓事物的本质属性，是指一个或一类事物内部所固有的、具有规律性的性质，根据该性质可以将此事物和其它事物区分开。可见，事物固有的规定性和它与其它事物的区别性是本质属性的两大特点，缺一便不为本质属性。

人们在实践中认识周围的事物（对象），一般是通过感觉、知觉形成观念(表象)，这是感性认识阶段．再经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，从而认识事物的本质属性，形成概念，这是理性认识阶段．理性认识在实践的基础上不断深化，概念相应的也就进一步获得发展（感性认识—理性认识—实践达到发展）。如，人们对“圆”的概念的认识，从对太阳、满月等物体形状的感觉、直觉而形成了圆的观念、印象。在这个基础上，通过制造圆形工具或器具需要图形，进而逐步认识圆的本质属性，即图上的点都在同一个平面上，这些点到某个定点（中心）的距离都是相等的，这个特性是别的图形所不具备的。当人们对具有“圆形”的这类对象，有了如上认识的飞跃后，便形成了“圆”的概念。至于半径的大小、圆心的位臵、画图笔的颜色、构成图形线条的粗细等特征，从几何学的观点来看是非本质的。

概念是人们头脑中的思维，它借助于有声有形的语词来表现，而表现概念的词叫做概念的名称。通常所说的名称的定义，就是指表达名称所代表的对象的本质属性的语词。概念是语词的思维内容，语词是概念的语言表达形式，概念在人类的思维活动中起着十分重要的作用，它是人类在一定阶段对客观世界认识的总

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结，是用压缩的形式表达大量知识的手段，是人们认识对象的工具，它里面印下了人类许多世纪的实践的痕迹。

（2） 数学概念

什么是数学概念？恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系．”现代的一些学者认为：“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程．”

数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式．一个数学概念通常用一个词（名称）或符号来表示。如用“⊥”表示垂直，用Q、N、Z、R分别表示有理数集、自然数集、整数集和实数集。

数学概念的产生与发展有各种不同的途径，有些数学概念是直接从反映客观事物的空间形式和数量关系得来的．例如，自然数、点、线、面、体等概念就是这样．然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展的．例如，无理数、复数的概念，分别是在有理数系和实数系的基础上产生的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生与发展的过程就更复杂了．

（3）数学概念具有如下特点：

其一，数学概念具有抽象性与具体性．这是因为数学概念代表了一类事物的 本质属性，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实 越远．但是不管它如何抽象，又总是高层次的抽象以低层次的事物为具体内容的．并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的 数、式、形之中．

其二，数学概念具有相对性与发展性．在某一科学体系或特定研究领域内， 数学概念的意义始终是一致的．例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线．然而数、形等概念本身处于不断发展之中．例如，自然数→有理数→实数→复数；直线上的点→平面上的点→空间中的点→n维空间中的点；锐角→任意角→空间角等．

其三，数学概念的定义、名词、符号“三位一体”，处于一个完整的科学体系之中．例如，三角形“△”，平行“∥”，微分“dx”，积分“∫”，它们除了特定的定义外，还有相应特定的名词与符号，具有名词、定义、符号“三位一体”，这是其他科学所无法比拟的．

其四，数学概念是对被反映对象简明的本质属性的表述．数学概念的定义是简洁明了的，只需表述出概念的本质属性。

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{四边形} {平行四边形} {矩形} {正方形}；{实数} {有理数} {自然数)

?实数???有理数???自然数?

如，定理的概念，比较下列两个关于“定理”的定义(关于定理的概念)． “定理指经逻辑论证其真实性被确定的命题．”①

“有些命题是由已知定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．”②

作为“定理”概念的①简洁明了，指出了定理的本质属性——经逻辑论证而得到的真命题．作为“定理”概念的②中“并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据”不是定理的本质属性(比如公理也有此属性)，因此在这里是多余的．“由已知定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法”其实就是“逻辑论证”．因此可以说，①作为定理这一概念是恰当的，②作为定理这一概念是不够恰当的．

2．数学概念的内涵和外延

（1）内涵与外延的含义 在一个科学体系中，任何一个概念都反映事物的一定范围和这个范围内事物的共同本质．把适合于该概念的所有对象的范围(或集合)，叫做这个概念的外延；这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵．它们分别是对这个事物集合的量和质的描述．数学概念的学习实际上就是理解概念的内涵，尽可能把握概念的外延．

例 正偶数这一概念的外延是集合{2，4，6，8，…，2n，…}，内涵是“能被2整除的正整数”这个性质；

例 平行四边形概念的内涵：两组对边分别平行的平面图形．

平行四边形概念的外延：一切平行四边形，包括矩形、菱形、正方形． 例 多项式概念的内涵：{1，x,x2,?,xn}的线性组合，xn的系数非零时为n次多项式．

多项式概念的外延：一切n(n为正整数)次多项式，包括整系数多项式，有理系数多项式，实系数多项式等．

例 中位数概念的内涵：距一组数的距离之和最小的数．

中位数概念的外延：一组奇数多个数按大小顺序排列时中间的那个数或一组 偶数多个数按大小顺序排列时中间两个数之间的任意数(通常取中间两个数的平均数)．

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例 概率概念的内涵：随机事件发生可能性大小的数字度量．

概率概念的外延：在日常生活中，可以通过随机事件发生的频率近似表示概 率；在古典概型中可通过基本事件的等可能性求得随机事件的概率；在几何概型中可通过基本事件与几何区域点的一一对应性求得随机事件的概率．

（2）反变关系：在同类概念中，外延与内涵存在着反变关系．即当外延扩大(或缩小)时，内

涵反而缩小(或扩大)．例如，就外延而言，{四边形}?{平行四边形}?{矩形}?{正方形}；{实数}?{有理数}?{自然数)；就内涵而言，它们则依次扩大．

（3）概念的限制与概括 概念的限制与概括是明确概念的逻辑方法。概念的限制与概括是以概念的内涵和外延的反变关系为依据的。在数学中，为了对某一概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊的概念，往往采取逐步增加概念的内涵，从而使概念的外延缩小的方法，来得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，平行四边形若增加“有一内角为直角”这个性质后，就成为矩形．反之，为了从一些特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质，有时又把某一概念的内涵逐步缩小，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的概括．例如，不考虑诸数系中元素的具体含义，只考虑其运算性质，可概括成群、环、域等概念．在数学中常用概念的限定与概括的方法，给出新的概念．

概念学习中，把握概念的内涵，理解概念所反映对象的本质属性是学习的核 心；弄清楚概念的外延，明白概念中各种因素的内在联系是学习的基础．数学概念学习时，往往通过对概念外延的奠基性学习，达到对概念的本质理解．

（二）概念间的关系

这里我们只研究可比较概念间的关系。所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关系的概念。例如,“正数”和“整数”就是可比较的概念,而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念。在可比较概念间,有相容关系和不相容关系。

1．相容关系 （1）同一关系

两个外延完全相同的概念之间的关系，叫 做同一关系．同一关系可由如图2—3所示， 叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示．在

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