专题3 函数图象的公共点
破解策略
根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为： （1）画图．
（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势． 例如：
①直线y＝2x＋b．其中待定系数是b．则直线y＝2x＋b与直线y＝2x是平行或重合的； ②直线y＝kx－1，其中待定系数是k，则直线y＝kx－1是绕着固定点（0，－l）旋转的；
2
③抛物线y＝ax＋5．其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；
22
④抛物线y＝x＋bx＋c，其中待定系数是b，c．则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y＝x 上下左右平移得到． （3）找临界点， 例题讲解
122例1 若二次函数y＝ x－ x－1的图象与y轴的交点为A．过点A作直线l∥x轴．将抛物线在
331y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变．得到一个新图象，直线y＝x＋b与新图象只有一
3个公共点p（x0，y0），且y0≤7，求b的取值范围．
1解：当直线y＝x＋b经过点（0，－1）时，得b＝－l，
3yOl
x1221当直线与原抛物线只有一个交点时，令x－ x－1＝x＋b，
3332
整理得x－3x－3－3b＝0． 则△＝9＋4（3＋3b）＝0，即b＝－
7； 4122当x－ x－1＝7时，解得x1＝6，x2＝－4（舍），
331将（6，7）代入直线y＝x＋b，得b＝5．
37结合函数图象，可得当－l＜b≤5或b＜?时，直线与新图象只有一个公共点．
4
2
例2 若二次函数y＝－x＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折·其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝ kx＋3与新图象恰有三个公共点时，求k的值．
解：当直线y＝kx＋3经过点A（－1，0）时，得k＝3; 当直线y＝kx＋3经过点B（3，0）时，得k＝－1；
22
当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx＋3＝－x＋2x＋3，则△＝（k－2）＝0．即k＝2． 结合函数图象．可得当k＝ －1，2或3时，直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点．
yA -1O3 Bx
16例3 已知抛物线L：y＝－（x－t）（x－t＋4）（常数t＞0）与双曲线y＝?有个交点的横坐标为
2xx0，且满足4≤x0≤6．通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围．
33，所以L与双曲线在点C（4，）．D（6，1）之间的一22段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）．（t－4，0）（t－4＜t），所以（t，0）在（t－4，0）的右侧．
解：如图，双曲线在4≤x0≤6时．1≤y0≤由
31＝－（x－t）（x－t＋4），x＝4．得t1＝5．t2＝7， 221（x－t）（x－t＋4）．x＝6，得t3＝ 8－2，t4＝8＋2． 2 由1＝－
因为5＜8－2＜7＜8＋2，所以当t＝5时，L右侧过点C； 当t＝ 8－2时，L右侧过点D； 当t＝7时．L左侧过点C； 当t ＝8＋2时．L左侧过点D; 所以5≤t≤8－2，或7≤t≤8＋2 10
yCO46
例4 定义：对于给定的两个函数，任取自变量．x的一个值．当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y??x?1,x＜0；＝－x－1，它的相关函数为y＝?
x?1,x≥0.?Dx19 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（?，1）．（，1）．连结MN．求线段MN与二次函
222
数y＝－x＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．
2
解 由题意可得，二次函数y＝－x＋4x＋n的相关函数为： ?x2?4x?n?(x?2)2?(n?4),x＜0； y??22?x?4x?n??(x?2)?(n?4),x≥0.?①当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图， 此时n＋4＝1．即n＝ －3;
yx=2MONx
②当相关函教的图形经过点（0，－1）时，如图，此时n＝ －1;
yx=2MONx
③当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n ＝ 1；
yx=2MONx
11215④当相关函数的图形经过点（?，1）时．如图， 此时（?）－4×（?）－n＝1，解得n ＝．
2224yx=2MONx
5． 42
例5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx－2mx＋2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
结合函数图象，满足题意的n的取值范围为－3＜n≤－1或1＜n≤
yOx
解：因为抛物线y＝mx－2mx＋2＝m（x－1）＋2－m，所以抛物线的顶点为（1，2－m），对称轴为x＝1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（－1，0），D（3，0）．
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