专题2 函数与方程、不等式的关系

破解策略

1．函数与方程的关系

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（1）关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的解?抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；

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（2）关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值． 2．函数与不等式的关系

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（1）关于x的不等式ax＋bx＋c＞0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；

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（2）关于x的不等式ax＋bx＋c＜0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；

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（3）关于x的不等式ax＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；

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（4）关于x的不等式ax＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值． 例题讲解

例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．

解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称． 所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．

又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．

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当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx－2mx－

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2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x－4x－2．

例2 已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．

解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，

所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax2－x－a，对称轴为x＝

1． 2a

①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝

1＜0， 2a如图可知，当当－1＜

11≤－1时符合题意，所以－≤a＜0． 2a21＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去． 2a1＞0． 2a②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝如图可知，当当0＜

11≥1时符合题意，所以0＜a≤． 2a21＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去． 2a11≤a＜0或0＜a≤． 22综上所述，a的取值范围是－

?b a?1例3 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'）给出如下定义：b'??，

?b a?1?则称点Q为点P的限变点．

例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．

（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围 ；

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（2）若点P在关于x的二次函数y＝x﹣2tx＋t＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围 ． ??x?3 x?1解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝?的图

x?3 -2?x?1?象上．

∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2． 当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3． ∴x＝5．

当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3． ∴x＝﹣2或x＝8． ∵﹣5≤b′≤2，

由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．

222

（2）∵y＝x﹣2tx＋t＋t＝（x﹣t）＋t， ∴顶点坐标为（t，t）．

若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符． 若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；

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当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）＋t]．

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∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）＋t＝t＋1．

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∴s关于t的函数解析式为s＝t＋1（t≥1）， 当t＝1时，s取最小值2， ∴s的取值范围是s≥2．

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故答案为（3，1）； 点B；5≤k≤8；s≥2．

进阶训练

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1．若关于x的一元二次方程x＋ax＋b＝0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x＋ax＋b＝1有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（ ） A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n B

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【提示】 函数y＝x＋ax＋b和函数y＝x＋ax＋b－1的图像如图所示，从而得到p＜m＜n＜q

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解：函数y＝x＋ax＋b如图所示：

pmOnqx

2．在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数y＝kx＋b的图像于点M，交二次函数y＝x2－2x－3的图像于点N，若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式． y＝－2x＋1

【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可

yPAOMCNBx

3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值 n的值为－2

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33．当n≤x≤1＜时，函数值y随自变量22x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2 【提示】 根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝

yx=32-2O1x

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