(中考合集)江苏盐城市中考数学压轴题专项汇编共30个专题汇总word文档可编辑共187页 下载本文

专题2 函数与方程、不等式的关系

破解策略

1.函数与方程的关系

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(1)关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的解?抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标的值;

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(2)关于x的一元二次方程ax+bx+c=mx+n(am≠0)的解?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=mx+n(m≠0)交点的横坐标的值. 2.函数与不等式的关系

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(1)关于x的不等式ax+bx+c>0(a≠0)的解集?抛物线y=ax+bx+c(a≠0)位于x轴上方的所有点的横坐标的值;

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(2)关于x的不等式ax+bx+c<0(a≠0)的解集?抛物线y=ax+bx+c(a≠0)位于x轴下方的所有点的横坐标的值;

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(3)关于x的不等式ax+bx+c>mx+n(ma≠0)的解集?抛物线y=ax+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)上方的所有点的横坐标的值;

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(4)关于x的不等式ax+bx+c<mx+n(ma≠0)的解集?抛物线y=ax+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)下方的所有点的横坐标的值. 例题讲解

例1 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l:y=-2x+2的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的表达式.

解:如图,因为抛物线的对称轴是x=1,且直线l与直线AB关于对称轴对称. 所以抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.

又因为抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.

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当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,则抛物线过点(-1,4),将(-1,4)代入y=mx-2mx-

2

2,得m+2m-2=4,则m=2.所以抛物线的表达式为y=2x-4x-2.

例2 已知y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y满足:当-1≤x≤1时,-1≤y≤1,且抛物线经过点A(1,-1)和点B(-1,1).求a的取值范围.

解:因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,-1)和点B(-1,1),代入得a+b+c=-1,a-b+c=1,

所以a+c=0,b=-1,则抛物线y=ax2-x-a,对称轴为x=

1. 2a

①当a<0时,抛物线开口向下,且x=

1<0, 2a如图可知,当当-1<

11≤-1时符合题意,所以-≤a<0. 2a21<0时,图像不符合-1≤y≤1的要求,舍去. 2a1>0. 2a②当a>0时,抛物线开口向上,且x=如图可知,当当0<

11≥1时符合题意,所以0<a≤. 2a21<1时,图像不符合-1≤y≤1的要求,舍去. 2a11≤a<0或0<a≤. 22综上所述,a的取值范围是-

?b a?1例3 在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b')给出如下定义:b'??,

?b a?1?则称点Q为点P的限变点.

例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(﹣2,5)的限变点的坐标是(﹣2,﹣5).

(1)若点P在函数y=﹣x+3(﹣2≤x≤k,k>﹣2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2,求k的取值范围 ;

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(2)若点P在关于x的二次函数y=x﹣2tx+t+t的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′<n,其中m>n.令s=m﹣n,求s关于t的函数解析式及s的取值范围 . ??x?3 x?1解:(1)依题意,y=﹣x+3(x≥﹣2)图象上的点P的限变点必在函数y=?的图

x?3 -2?x?1?象上.

∴b′≤2,即当x=1时,b′取最大值2. 当b′=﹣2时,﹣2=﹣x+3. ∴x=5.

当b′=﹣5时,﹣5=x﹣3或﹣5=﹣x+3. ∴x=﹣2或x=8. ∵﹣5≤b′≤2,

由图象可知,k的取值范围是5≤k≤8.

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(2)∵y=x﹣2tx+t+t=(x﹣t)+t, ∴顶点坐标为(t,t).

若t<1,b′的取值范围是b′≥m或b′<n,与题意不符. 若t≥1,当x≥1时,y的最小值为t,即m=t;

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当x<1时,y的值小于﹣[(1﹣t)+t],即n=﹣[(1﹣t)+t].

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∴s=m﹣n=t+(1﹣t)+t=t+1.

2

∴s关于t的函数解析式为s=t+1(t≥1), 当t=1时,s取最小值2, ∴s的取值范围是s≥2.

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故答案为(3,1); 点B;5≤k≤8;s≥2.

进阶训练

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1.若关于x的一元二次方程x+ax+b=0有两个不同的实数根m,n(m<n),方程x+ax+b=1有两个不同的实数根p,q(p<q),则m,n,p,q的大小关系为( ) A.m<p<q<n B.p<m<n<q C.m<p<n<q D.p<m<q<n B

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【提示】 函数y=x+ax+b和函数y=x+ax+b-1的图像如图所示,从而得到p<m<n<q

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解:函数y=x+ax+b如图所示:

pmOnqx

2.在平面直角坐标系xOy中,p(n,0)是x轴上一个动点,过点P作垂直于x轴的直线,交一次函数y=kx+b的图像于点M,交二次函数y=x2-2x-3的图像于点N,若只有当-2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的表达式. y=-2x+1

【提示】 依据题意并结合图像可知,一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为-2和2,由此可得交点坐标分别为-2和2,由此可得交点坐标为(-2,5)和(2,-3)将交点坐标分别代入一次函数表达式即可

yPAOMCNBx

3.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx-(2m+1)x+m-5的图像与x轴有两个公共点,若m取满足条件的最小整数,当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是-6≤y≤4-n,求n的值 n的值为-2

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33.当n≤x≤1<时,函数值y随自变量22x的增大而减小,所以当x=1时,函数的值为-6,当x=n时,函数值为4-n.所以n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不符合题意,舍去),则n的值为-2 【提示】 根据已知可得m=1.图像的对称轴为直线x=

yx=32-2O1x

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