专题1 一元二次方程的特殊根

破解策略

1．一元二次方程的有理根

22

关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件为：b－4ac是一个有理数的平方．

2

解决一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：

（1）利用“判别式的取值范围”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，求出判别式；

②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；

③求出待定系数的可能取值，并检验．

（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；

222

②将判别式写成△＝M－t的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M－t＝m（m为非负有理数）

③可得（Ｍ＋m）（Ｍ－ｍ）＝t，解此不定方程； ④求出待定系数的可能取值，并检验． ２．一元二次方程的整数根

2

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．

2

解决方程ax＋bx＋c＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．

（1）利用“根与系数的关系”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； ②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）；

③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

（2）利用“因式分解”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程化为（m1x＋n1）（m2x＋n2）＝0的形式；

nn②求出方程的两根，x1＝?1和x2＝?2；

m1m2③利用分离常量的方法，将?n1n，?2变成一个常数与一个分式的和； m1m2④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．

需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数． 3．分离常量

在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如：

①

m?2m?1?3m?133 ； ????1?m?1m?1m?1m?1m?1②③④

?m?2?m?1?1?(m?1)11 ； ?????1?m?1m?1m?1m?1m?12m?32m?2?12(m?1)11 ； ????2?m?1m?1m?1m?1m?1?3m?1?3m?3?2?3(m?1)22 ． ?????3?m?1m?1m?1m?1m?1例题讲解：

2

例1 已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx—（2m－1）x＋m－2＝0有有理根，求m的值及方程的根．

解： 若原方程的根为有理数，

２

则△＝（2m－1）—4m（m－2）＝4m＋1应为某个有理数的平方． 已知6＜m＜20，所以25＜4m＋1＜81， 而4m＋1是奇数，从而4m＋1＝49， 得m＝12，

2

所以原方程变为12x—23x＋10＝0，

解得x1＝

25，x2＝． 3425，x2＝． 342

例2 设m是不为零的整数，关于x的一元二次方程mx－（m－1）x＋1＝0有有理根，求m的值． 解 若原方程的根为有理数，

２２

则△＝（m－1）—4m＝（m－3）—8应为某个有理数的平方．

２2

令（m－3）—8＝n （n＞0），显然n也为整数， 所以（m－3＋n）（m－3－n）＝8．

由于m－3＋n＞m－3－n，并且（m－3＋n）＋（m－3－n）＝2（m－3）是偶数， 所以m－3＋n和m－3－n同奇偶，

故m＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x1＝

?m?6?m2?0?m-3?n?4?m?3?n??2所以?或? ；解得?1，?（舍）．

m-3?n?2m?3?n??4n?1n?1???1?2所以当m＝6时，方程有两个有理根，分别为x1＝

11，x2＝． 23

2

例3 关于x的一元二次方程rx＋（r＋2）x＋r－1＝0有且只整数根，求整数r的值． 解： 当r＝0时，原方程无整数根； 当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得

r?22r?11＝－1－，x1?x2＝＝1－． rrrr因为x1，x2都是整数，

x1＋x2＝?所以x1＋x2和x1?x2均为整数，从而而r为整数，所以r＝±1．

21，均为整数． rr2

当r＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件； 当r＝1时，原方程的解为x1＝0，x2＝－3． 综上可得，整数r＝1．

例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次

2222

函数y＝（k－3k＋2）x＋（2k－4k＋1）x＋k－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

2222

解：令y＝0，即（k－3k＋2）x＋（2k－4k＋1）x＋k－k＝0， 因式分解，得[（k－1）x＋k][（k－2）x＋k－1]＝0

解得x1＝?k1k?11，x2＝?， ??1???1?k?1k?1k?2k?211，也均为整数， k?1k?2由题意可得x1，x2均为整数，所以设

11＝m（m≠0，m为整数），则k＝＋1， k?1m11m?(1?m)?11?????1?， k?21?1?21?m1?m1?mm所以

所以1－m＝±1，即m1＝0（舍），m2＝2， 从而得到k＝3． 212131x－x＋＝?（x＋1）2＋1 4244二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．

所以二次函数表达式为y＝?

进阶训练

2２

1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于x的方程x－4mx＋4x＋3m－2m＋4k＝0的根为有理数？

5 4２

【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m—6m＋4（1－k）]应为某个有理数的平方． 解：k＝－5． 42２

2．已知关于x的方程x－2（2m－3）x＋4m－14m＋8＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m的值．

解：m＝24． 【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m＜40，所以25＜2m＋1＜81，而2m＋1为奇数，则2m＋1＝49，即m＝24．

所以4（1－k）＝9，即k＝－

3．已知方程（k－1）x－3（3k－1）x＋18＝0有正整数根，求整数k的值． 解：k＝0，1，2，4，5． 2

【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k＝1时，方程有正整数根，当k－1＝0时，原方程可整理为[（k＋1）x－6][（k－1）x－3]＝0，解得x1＝

２2

63，x2＝，而方程有正整数根，所以k＝0，k?1k?11，2，4，5，综上，k＝0，1，2，4，5．

222

4．求使关于x的方程（a＋1）x－（a＋1）x＋2a－6＝0的根均为整数的所有整数a． 解：a＝－3，－2，0，1． 【提示】①当a＝－1时，方程变为－2x－4＝0，解得x＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设a2?12a2?62方程的两个整数根为x1，x2，则由根与系数的关系可得x1＋x2＝＝a－1＋，x1?x2＝

a?1a?1a?1＝2（a－1）－

4． a?12为整数，所以a＝－3，－2，0，1． a?1经检验，得到当a＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数． 因为x1，x2都是整数，所以x1＋x2和x1?x2均为整数，即

4