15．【解答】解：∵100x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式， ∴k＝±40， 故答案为：±40

16．【解答】解：要保持利润率不低于10%，设可打x折． 则500×

﹣400≥400×10%，

解得x≥8.8． 故答案是：8.8．

17．【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0； 因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2

18．【解答】解：观察前四个等式，可得出：第n个等式的前两项为及∵+

+×

＝+×+×

+＝1． ＝1．

＝

+

＝

，

＝1，

∴第n个等式为+故答案为： +

19．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1＝（k+1）2﹣k2（k＝1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k，有4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2（k＝2，3，…）．

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

对于被4除余2的数4k+2（k＝0，1，2，3，…），设4k+2＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，

当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾． 所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2＝4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017＝（1+3×672），4×（672+1）＝2692， 所以2693是第2018个“智慧数”， 故答案为：2693．

20．【解答】解：作AH⊥BC于H，交BD于P′，作P′Q′⊥AB于Q′，此时AP′+P′Q′的值最小．

∵BD平分∠ABC，P′H⊥BC，P′Q′⊥AB， ∴P′Q′＝P′H，

∴AP′+P′Q′＝AP′+P′H＝AH，

根据垂线段最短可知，PA+PQ的最小值是线段AH的长， ∵AB＝4，∠AHB＝90°，∠ABH＝45°， ∴AH＝BH＝2故答案为2

． ，

三、(21题5分，22题8分．） 21．【解答】解：原式＝＝a（a+1）﹣（a﹣1） ＝a2+a﹣a+1 ＝a2+1．

∵若使分式有意义，则a2﹣1≠0，即a≠±1． ∴当a＝0时，原式＝0+1＝1．

22．【解答】解：（1）9（m+n）2﹣（m﹣n）2 ＝[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）] ＝（4m+2n）（2m+4n） ＝4（2m+n）（m+2n）；

（2）x2+xy+y2 ＝（x2+2xy+y2） ＝（x+y）2，

×（a2﹣1）﹣

×（a2﹣1）

当x+y＝1时， 原式＝×12＝． 四.（23题5分，24题8分） 23．【解答】解：由①得：x＞2.5 由②得：x≤4，

∴不等式组的解集为：2.5＜x≤4，

24．【解答】解：（1）52+32＞2×5×3； 32+22＞2×3×2．

（﹣3）2+22＞2×（﹣3）×2；

（﹣4）2+（﹣4）2＝2×（﹣4）×（﹣4）

（2）一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab； （3）∵（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab． 五.（本题6分）

25．【解答】解：（1）旋转后得到的图形A1B1C1D1如图所示； （2）

，

将四边形ABCD先向右平移4个单位，再向下平移6个单位，四边形A2B2C2D2如图所示．答案不唯一．

六.（26题7分，27题7分）

26．【解答】解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3． 由题意：

﹣

＝5，

解得x＝，

经检验：x＝是分式方程的解． ×（1+）＝2（元/m3），

答：该市今年居民用水的价格为2元/m3

27．【解答】解：（1）西瓜瓤的体积是：π（R﹣d）3； 整个西瓜的体积是πR3；

（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是＝；

（3）根据球的体积公式，得： V西瓜瓤＝π（R﹣d）3，

则西瓜瓤与整个西瓜的体积比是＝，

故买大西瓜比买小西瓜合算． 七.（28题6分，29题8分）

28．【解答】证明：连接BD，交AC于点O．