5

专题1 函数的最（极值） 训练篇A （10页）

x2－ax＋11

(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝x＋x－a＝(x＞0)， x∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根， 由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，

x21x21x211x2

222222

∴f(x2)－f(x1)＝lnx1＋2(x2－x1)－a(x2－x1)＝lnx1－2(x2－x1)＝lnx1－2(x2－x1)x1x2＝lnx1－1?x2x1?2?x1－x2?.

x21?1?

设t＝x1(t≥ e)，令h(t)＝ln t－2?t－t?(t≥ e)， t－11?11?

2则h′(t)＝t－2?1＋t?＝－2t21?e?h(t)≤h(e)∴＝2?1－ e＋e?，

1?e?故f(x2)－f(x1) 的最大值为2?1－ e＋e?.

1

7.已知函数f(x)＝3x3＋x2＋ax.

(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；

x?1??1?x(2)若函数g(x)＝e，对?x1∈?2，2?，?x2∈?2，2?，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．

解 (1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，

而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.

2

＜0，∴h(t)在[e，＋∞)上是减函数，

?1??1??1?

(2)“对?x1∈?2，2?，?x2∈?2，2?，使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于“当x∈?2，2?时，

f′(x)max≤g(x)max”．

?1?

因为f′(x)＝x＋2x＋a＝(x＋1)＋a－1在?2，2?上单调递增，

2

2

所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.

1－x

而g′(x)＝ex，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1， 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 1?1?

所以当x∈?2，2?时，g(x)max＝g(1)＝e.

1?11?

由8＋a≤e，得a≤e－8，所以实数a的取值范围为?－∞，e－8?.

6

专题1 函数的最（极值） 训练篇A （10页）

注 (1)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2

上的最小值即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．

(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)＜g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值(这里假设f(x)max，g(x)max存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任 意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．

x8．（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数f(x)?xe与函数g(x)?12x?ax的图20)处有相同的切线. 象在点(0，（Ⅰ）求a的值；

2]上的最小值. （Ⅱ）设h(x)?f(x)?bg(x)(b?R)，求函数h(x)在[1，xx解：（Ⅰ）因为f?(x)?e?xe，所以f?(0)?1.

因为g?(x)?x?a，所以g?(0)?a. .

因为f(x)与g(x)的图象在（0,0）处有相同的切线，所以f?(0)?g?(0)，所以a?1.

12x?x, 212x令h(x)?f(x)?bg(x)?xe?bx?bx，x?[1,2]，则

2（Ⅱ）由（Ⅰ）知, g(x)?h?(x)?ex?xex?b(x?1)?(x?1)(ex?b)．

(1)当b?0时，?x?[1,2]，h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是增函数， 故h(x) 的最小值为

.

(2)当b?0时，由h?(x)=0得，x?lnb，

①若lnb?1，即0?b?e，则?x?[1,2]，h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是增函数，故h(x)的最小值为h(1)=e?3b. 2②若1?lnb?2，即e?b?e2，则?x?(1,lnb)，h?(x)?0，所以h(x)在(1,lnb)上是

2)上是增函数，h?(x)?0，故h(x)的最小值为h(lnb)=?减函数，在(lnb，1bln2b. 2 ③若lnb?2，即b?e2，则?x?[1,2]，h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是减函数，

7

专题1 函数的最（极值） 训练篇A （10页）

故h(x)的最小值为h(2)=2e?4b.

综上所述，当b?e时，h(x)的最小值为h(1)=e?为?23b;当e?b?e2时，h(x)的最小值21bln2b;当b?e2时，h(x)的最小值为2e2?4b. 21329.（2017年山东，文20）已知函数f(x)?x?ax,a?R

3（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；

（2）设函数g(x)?f(x)?(x?a)cosx?sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有

极值时求出极值.

22解 （1）由题意f'(x)?x?ax，所以，当a?2时，f(3)?0，f'(x)?x?2x，

所以f'(3)?3，因此，曲线y?f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y?3(x?3)，即

3x?y?9?0.

（2）因为g'(x)?x(x?a)?(x?a)sinx ?(x?a)(x?sinx).

令h(x)?x?sinx?h'(x)?1?cosx?0，所以h(x)?x?sinx单调递增，且

h(0)?0，则当x?0时，x?sinx?0；当x?0时，x?sinx?0

（i）当a?0时，g'(x)?(x?a)(x?sinx)，

当x?(??,a)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增； 当x?(a,0)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递减； 当x?(0,??)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增. 所以，当x?a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)??当x?0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)??a.

（ii）当a?0时，g'(x)?x(x?sinx)，当x?(??,??)时g'(x)?0,g(x)单调递增； 所以，g(x)在x?(??,??)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值. （iii）当a?0时，g'(x)?(x?a)(x?sinx)，

当x?(??,0)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增； 当x?(0,a)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递减； 当x?(a,??)时，x?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增.

13a?sina， 6

8

专题1 函数的最（极值） 训练篇A （10页）

所以，当x?0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)??a； 当x?a时，g(x)取到极小值，极小值是

1g(a)??a3?sina.

6综上所述：当a?0时，函数g(x)在x?(??,0)和x?(0,??)上单调递增，在x?(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)??13a?sina，极小值是6g(0)??a.

当a?0时，函数g(x)在(??,??)上单调递增，无极值；

当a?0时，函数g(x)在x?(??,0)和x?(a,??)上单调递增，在x?(0,a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)??a，极小值是g(a)??

10.（2016年天津，理20）设函数f(x)?(x?1)3?ax?b，x?R，其中a，b?R. （1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)?f(x0)，其中x1?x0，求证：x1?2x0?3； 1（3）设a＞0，函数g(x)?f(x)，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．4.

13a?sina. 6解 （1）由f(x)?(x?1)?ax?b，可得f?(x)?3(x?1)?a. 下面分两种情况讨论：

2（i）当a?0时，有f'(x)?3(x?1)?a?0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为

32(??,??).

（ii）当a?0时，令f'(x)?0，解得x?1?当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

3a3a. ，或x?1?33x (??,1?3a3a3a3a (1?) 1?,1?) 3333f?(x)

＋ 0 － 单调递减 f(x) 单调递增 极大值