难点磁场
n(n?1)2d,得: 解法一:将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+
m(m?1)?ma?d?30??12??2ma?2m(2m?1)d?1001?2?
4010203m(3m?1)解得d?2,a1??2,?S3m?3ma1?d?210mm2m
http://www.ks5u.com①
②
解法二:由
S3m?3ma1?3m(3m?1)(3m?1)dd?3m[a1?]22知,要求S3m只需求m
(3m?1)dm(3m?1)22[a1+],将②-①得ma1+ d=70,∴S3m=210.
解法三:由等差数列{an}的前n项和公式知,Sn是关于n的二次函数,即Sn=An2+Bn(A、B是
常数).将Sm=30,S2m=100代入,得
20?A?2???Am?Bm?30?m ???2??B?10?A(2m)?B?2m?100?m,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 ?2解法四:S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…
+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d.
402由解法一知d=m,代入得S3m=210.
解法五:根据等差数列性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,从而有:2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m) ∴S3m=3(S2m-Sm)=210
n(n?1)2d, 解法六:∵Sn=na1+
http://www.ks5u.comSnn(n?1)2d ∴n=a1+
SmS3mSnS2m(x?1)d2∴点(n, n)是直线y=+a1上的一串点,由三点(m,m),(2m, 2m),(3m, 3m)共线,
易得S3m=3(S2m-Sm)=210.
解法七:令m=1得S1=30,S2=100,得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70 ∴a3=70+(70-30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210
答案:210 歼灭难点训练
S1031?S32,而a1=-1,故q≠1,
一、1.解析:利用等比数列和的性质.依题意,5S10?S531?321???S53232,根据等比数列性质知S5,S10-S5,S15-S10,…,也成等比数列,∴
11且它的公比为q5,∴q5=-32,即q=-2. limSn?a12??.1?q3
∴n??答案:B
二、2.解析:解出a、b,解对数不等式即可. 答案:(-∞,8)
n?13.解析:利用S奇/S偶=n得解.
答案:第11项a11=29 4.解法一:赋值法. 解法二:
1111b=aq,c=aq2,x=2(a+b)=2a(1+q),y=2(b+c)=2aq(1+q), 121aq(1?q)?a2q2(1?q)ay?cx22?ac12xy?aq(1?q2)xy =4=2.
答案:2
??a3?a1?2d?12,?12?11?S?12a?d?0?1212?13?12?S?13a?d?0131?2?三、5.(1)解:依题意有:
24解之得公差d的取值范围为-7<d<-3.
http://www.ks5u.com(2)解法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中Sk为最大值的条
?a3?(k?3)d?0?a?(k?2)d?0件为:ak≥0且ak+1<0,即?3http://www.ks5u.com
?kd?3d?121212?kd?2d?12∵a3=12,∴?,∵d<0,∴2-d<k≤3-d
72412∵-7<d<-3,∴2<-d<4,得5.5<k<7.
因为k是正整数,所以k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大. 解法二:由d<0得a1>a2>…>a12>a13,因此,若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1<0,则Sk是S1,S2,…,S12中的最大值.由等差数列性质得,当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q
21时,am+an=ap+aq.所以有:2a7=a1+a13=13S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=6S12>0,∴a6≥-
a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6最大.
ndSn?na1?(n?1)d?n(12?2d)?(n2?n)22解法三:依题意得: ?d124d24124[n?(5?)]2?(5?)2,?d?0,?[n?(5?)]222d8d2d最小时,Sn最大;
11242424∵-7<d<-3,∴6<2(5-d)<6.5.从而,在正整数中,当n=6时,[n-2 (5-d)]2
最小,所以S6最大.
点评:该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求,难度不高,入手容易.第(2)问难度较高,为求{Sn}中的最大值Sk,1≤k≤12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1<0,思路之三是可视Sn为n的二次函数,借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力,较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律,找出“分水岭”,从而得解. 6.解:(1)由题意知a52=a1·a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d)?a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列{∴
abn
}的公比q=
a5a1?4d?a1a1
=3,
①
abn=a1·3n-1
bn?1a1abn2又=a1+(bn-1)d=
②
bn?1由①②得a1·3n-1=2·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n-1-1.
(2)Tn=C
1nb1+C
2nb2+…+C
nnbn=C
1n (2·30-1)+C
2n·(2·31-1)+…+C
nn(2·3n-1-
222112n12n1)=3(Cn+Cn·32+…+Cn·3n)-(Cn+Cn+…+Cn)=3[(1+3)n-1]-(2n-1)= 3·4n-2n+3,
2n121n11n?4?2n??()?()Tn2333234?limn?limn??.limn?1131n??4?bnn??4?2?3?1n??1??()n?1?()n3244
7.解:∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32, 已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,
11得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=2,a3=4. 13由a1=1,a3=4,知{an}的公差d=-8, 10?955∴S10=10a1+2d=-8.
221由b1=1,b3=2,知{bn}的公比q=2或q=-2,
http://www.ks5u.comb1(1?q10)312当q?时,T10??(2?2);21?q32b1(1?q10)312当q??时,T10??(2?2).21?q32
8.证明:(1)∵{an}是等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为
(akx+ak+2)(x+1)=0,
∴当k取不同自然数时,原方程有一个公共根-1.
?(2)原方程不同的根为xk=
ak?2a?2d2d??k??1?akakak
??a1??k,xk?12d1xk?1?1?aaa?ak?1?d11??k?1?(?k)?k???(常数)xk?12d2d2d2d2
?{11}是以?为公差的等差数列.xk?12http://www.ks5u.com