难点12 等差数列、等比数列的性质运用

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. ●难点磁场

(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________. ●案例探究

1［例1］已知函数f(x)=

x2?4 (x<－2).

(1)求f(x)的反函数f-－1(x);

1(2)设a1=1,

an?1 =－f－-1(an)(n∈N*),求an;

m(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<25成

立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.

错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问

1以数列{

an2}为桥梁求an,不易突破.

1技巧与方法：(2)问由式子

an?1?1an2?4得

1an?12?1an21=4,构造等差数列{

an2},从而求得an,

即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.

1解：(1)设y=

x2?4,∵x<－2,∴x=－4?1y24?1y2,

即y=f－-1(x)=－

(x>0)

1(2)∵

an?1?4?1an,?21an?12?1an2?4，

1∴{

an2}是公差为4的等差数列，

12121aa∵a1=1, n=1+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=4n?3.

1m25(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=4n?1,由bn<25,得m>4n?1, 2525设g(n)= 4n?1,∵g(n)= 4n?1在n∈N*上是减函数，

m∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<25成立.

［例2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.

错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.

技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值. 解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有

http://www.ks5u.com?a1?(q2m?1)a1q?(q2m?1)??q?1q2?1??(aq)?(aq3)?9(aq2?aq3)111?1

化简得

?4q1??q?1?1?q? 解得?3??aq2?9(1?q),??a1?108?1.

http://www.ks5u.com设数列{lgan}前n项和为Sn,则

Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)

11=nlga1+2n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－2n(n－1)lg3 lg37=(－2)·n2+(2lg2+2lg3)·n 72lg2?lg32lg3可见，当n=时，Sn最大.

72lg2?lg34?0.3?7?0.42?lg32?0.4而=5,故{lgan}的前5项和最大.

?a1?108?1?11q??3,于是lgan=lg［108(3)n－1］=lg108+(n－1)lg3, 解法二：接前，?1∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg3为公差的等差数列，令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,2lg2?4lg32?0.3?4?0.4?lg30.4∴n≤=5.5.

由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.

●锦囊妙计

1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.

2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.

3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. ●歼灭难点训练 一、选择题

http://www.ks5u.comhttp://www.ks5u.com1.(★★★★)等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若

S1031?S532，则n??Sn等于( )

lim22A. B.?33

http://www.ks5u.com C.2

http://www.ks5u.com D.－2

二、填空题

2.(★★★★)已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0

3.(★★★★)等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.

ac?4.(★★★★)已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则xy=_________.

三、解答题

5.(★★★★★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

6.(★★★★★)已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 ab1,ab2,…,abn,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.

(1)求数列{bn}的通项公式；

1Tn=Cn2b1+Cn3b2+Cnnb3+…+Cn(2)记

Tnnnbn,求n??4?b.

lim http://www.ks5u.com7.(★★★★)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.

8.(★★★★★){an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；

111,,?,x?1x2?1xn?1为等差数列.

(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列1

参考答案