【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； 解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×， ∴CP=.

(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6

∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC

∴ ，即： 解得，CP=

类型六、综合探究

9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，

(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说 明理由.

解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°

∵∠A=90°， ∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE

∴ ，即

∴

(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即 ∵

，∵

均符合题意，故AP=1或 4.

，解得

总结升华：

(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似 三角形的知识解决.

(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程 解决，体现了数形结合的思想.

10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)设BP=，△PEF的面积为 (2)当P在BC边上什么位置时，

，求

与的函数解析式和的取值范围；

值最大.

解：(1)∵BC=2， BC边上的高AD=1 ∴△ABC的面积为1

∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

∴

同理△CEP∽△CAB

，∴

∴，

∴

∵PE∥AB， PF∥AC，∴四边形PFAE为平行四边形

∴

∴.

(2) ∴当

时，即P点在BC边的中点时，

值最大.

总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑： (1)从面积公式入手；

(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方； (3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.