(1) Z?X?Y的分布密度；（2）E(XY).

六、设随机变量X服从泊松分布，且E(X)?6，证明P{0?X?9}?1. 3七、设X为连续随机变量，概率密度满足：当x?[a,b]时，f(x)?0,求证：

?b?a?a?E(X)?b,D(X)???.

?2?

2

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第六章 数理统计的基本概念

练习6.1 随机样本

一、填空：

1. 设X为总体，若X1,X2,,Xn满足条件 和 ,则称

X1,X2,2.

样

,Xn为从总体得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本。

本

均

值

X?__________,x?__________,样本方差

S2?____________,s2?__________.

3. 若X1,X2,?,Xn是正态总体N(?,?)的一组简单随机样本，则

2X?1(X1?X2???Xn)服从 。 n二、在五块条件基本上相同的田地上种某种家作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求样本均值和样本方差。 三、设总体X服从均值为

1?的指数分布，X1,X2,,Xn为X的一个样本，求

E(X) ,E(S2).

四、设X1,X2,,Xn为（0—1）分布的一个样本，E(Xi)?p,D(Xi)?p(1?p),求

E(X),D(X),E(S2).

五、设总体X~b(1,p),X1,X2,,Xn为X的一个样本, p未知，求对每个

p(0?p?1),n应取多大，才能保证E(X?p)2?0.01.

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练习6.2 抽样分布 一、已知总体X~N(?,?2),其中?已知而?未知，设X1,X2,个样本，试指出下面哪些是统计量，哪些不是统计量：

1. X1?X2???Xn; 2. Xi?2?; 3. X1?X2; 4.

222,Xn为取自总体X的一

1?2??Xi?1ni?X?2; 5. X1??; 6. max{X1,X2,?,Xn}

2二、从总体N(56,6.32)随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。

?102?三、设X1,X2,?,X10为N(0,0.3)的一相样本，求P??Xi?1.44?.

?i?1?210Xi?022提示：令Yi?,则?Yi~?(10).

0.3i?1四、在总体N(80,20)中随机抽取容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？

五、求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值的绝对值大于0.3的概率。 六、查表求出下列诸值：

22?0),t0.05(9),F0.1(10,9),F0.05(10,9),F0.90(28,2),F0.999(10,10) .05(10),?0.09(152七、设X1,X2,?,X16是总体X~N(?,?)的一个样本，

2?,?2为未知，而

x?12.5,s2?5.333,求P{|X??|?0.4}.

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练习7.1—7.2 点估计和估计量的评价标准 一、设X1,X2,,Xn为N(0,?2)的一个样本，求?2的极大似然估计。

,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数为

二、设X1,X2,??x??1,0

?(??1x?)x,?0?

X pk

其中?(0???0 1 2 3 ?2 2?（1??) ?2 1?2? 1)是未知参数，利用总体X的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，2求?的矩估计值和极大似然估计值。 五、 设X1,X2,,Xn为泊松分布?(?)的一个样本，试证样本方差S2是?的无偏估计,并

且，对于任意值?(0???1),?X?(1??)S2也是?的无偏估计。

2?1?n2提示：S?Xi?nX? ??n?1?i?1?2六、设X1,X2,n?1i?1,Xn总体X~N(?,?2)的一个样本，试适当选择常数C,使

C?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。

提示：E[(Xi?1?Xi)2]?D(Xi?1?Xi)?[E(Xi?1?Xi)]2