四、（15分）设随机变量X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为：

?e?x,x?0,?2e?2y,, fY(y)??fX(x)???0,其它?0,y?0,其它

试求：1. (X,Y)的联合分布密度与分布函数；2. P{0?X?1,0?Y?2}. 五、（10分）设随机变量(X,Y)的分布函数为：

???sinxsiny,0?x?,0?y??F(x,y)??22

??0, 其它 求(X,Y)的概率密度，且问X与Y是否相互独立？

六、（10分）设相互独立的随机变量X与Y的概率密度分别为：

xy?1?3?1?4?e,?e,x?0,, fY(y)??4fX(x)??3?0,?0,其它??y?0,其它

试求Z?X?Y的分布密度。

七、（10分）设随机变量X与Y的联合分布是正方形G?{(x,y):1?x?3,1?y?3}上的均匀分布，试求随机变量U?|X?Y|的概率密度f(u).

八、(14分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为：

?ce?(3x?4y),x?0,y?0, f(x,y)??0,其它?（1） 确定常数c;

（2） 求边缘分布密度fX(x),fY(y); （3） 求(X,Y)的联合分布函数； （4） 讨论X与Y的独立性； （5） 求P{0?X?1,0?Y?2}.

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第四章 随机变量的数字特征

练习4.1 数学期望

一、填空

1.设随机变量X的分布律为：

0 1 2 X ?1 pk 0.2 0.1 0.3 0.4

则E(X)? ; E(|X|)? ; E(X2)? ; E(2X)? .

x??1,?0, ???1x?则1,a? ; 2. 随机变量X的分布函数为F(x)??a?barcsinx, ?1, x?1,?b? ;E(X)? ;E(X2)? . 3. 设随机变量(X,Y)的分布密度为：f(x,y)???k,0?x?1，0?y?1,

0,其它?则k? ; E(X)? ;E(Y)? ;E(XY)? .

24. 设随机变量X~N(?,?),则E(|X??|)? .

x?0,?0, ?35. 设随机变量X的分布函数为F(x)??x, 0?x?1,则E(X)? .

?1, x?1,?（X）（X）]]? . 6. 若随机变量X的期望E存在，则E[E[E7. 设X1,X2,X3都服从[0，2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)? . 8. 设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则E(XY)? . Y 0 1 2 X -1 2 1/10 3/10 1/20 1/10 7/20 1/10 二、对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，求试验次数X的数学期望。 三、设随机变量X的概率密度为f(x)???2(1?x),0?x?1，,试求数学期望E(X).

其它?0,四、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望。

l交x轴于B五、平面上点A的坐标为（0,a),其中a?0,过A点的直线l与y轴的夹角为?，

点，已知?在[0,?4]上均匀分布，求?OAB的面积的数学期望。

六、设X与Y是相互独立的两个随机变量，密度函数分别为：fX(x)???2x,0?x?1，

0,其它；??e?(y?5),y?5，求E(XY). fY(y)??其它.?0,

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练习4.2 方差

一、填空

1. 设X为随机变量，且E（X）?1,E(X2)?2,则D(X)?_______. 2. 设X~N(0，?2)，则D(aX?b)?_______.

（X）?2.4,D（X）?1.44,则二项分布的参数3. 已知随机变量X服从二项分布，且En? , p? 。

（X）存在，且E4. 设随机变量X的期望E（X）?a,E（X2）?b,c为常数，则

D（cX)? . （X）?3，D（X）?5. 设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E度为 , P{X?2}? , P{1?X?3}? .

1，则X的概率密3（X）? , 6. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则ED（X）? .

（X）? . 7. 设X为一随机变量，若D(10X?1)?10,则DX1X2?1)?2,D(?1)?,则8. 设随机变量X的期望EX为一非负值，且E(222E（X）? 。

29. 若随机变量X~N(?,?),则Y?X?3服从 分布。 231??010. 若随机变量X1,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布?则X??Xi服?，

i?1?0.80.2?（X）? , D（X）? . 从 分布，且E二、设随机变量X的分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,,其中0?p?1为常数，

（X）求D。