?103106?1 =?3?2?3?dy?1?
10zy?2z?y??1?1??2z,z?1,??z即 fZ(z)??,0?z?1,
2?其他.?0,???1?2z2,z?1,??1故 fZ(z)??,0?z?1,
2?其他.?0,??
习 题 五
1. 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。
解 10分25秒
2.对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为
?1?,a?x?b,f（x）=?b?a
?其他.?0,球体积Y=
1πX3，由（4.6）式得 6E（Y）=E(πX)?=
163131?a6πxb?adx
b6(b?a)?a?bx3dx?π(a?b)(a2?b2). 243.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？
解：平均需赛6场
4.一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表
21
示所得号码之和，求E(X),D(X)。
k(n?1)k(n2?1),D(X)?解 E(X)? ; 2125.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望
E(X)和方差D(X)。
解E(X)?12,7D(X)?24 496.设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?求：① 常数k.. ② E?XY?及D(XY). 解k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144
?k,0?x?1,0?y?x
0,其他?7.设二维随机变量（X，Y）在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+所围成的三角区域，求E（X），E（Y），E（XY）.
解 由于（X，Y）在A内服从均匀分布，所以其概率密度
y =121?,(x,y)?A,?1,(x,y)?A,???f（x，y）=?A的面积
?(x,y)?A,?0,(x,y)?A.?0,E（X）=
????????????????xf(x,y)dxdy???xdxdy??dx?A0212(1?x)01?1xdy?;
32dx?;
3E（Y）=
????yf(x,y)dxdy???ydxdy??ydy?A0y20E（XY）=
??????????xyf(x,y)dxdy??xdx?012(1?x)011ydy?2?x(1?x)2dx?.
06
8.设随机变量X的概率密度为
?1?x,?1?x?0,?f（x）=?1?x,0?x?1,
?0,其他.?求E（X）和D（X）. 解 E（X）=
?0?1x(1?x)dx??x(1?x)dx =0，
01E（X）=
2
?0?1x(1?x)dx??x2(1?x)dx=1/6，
021于是 D（X）=E（X2）-［E（X）］2=1/6.
9.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1, 计算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）.
22
解 Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y) ?3?2?10?(?1)?8?3??28 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 10.设X服从[0,2π]上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这里a是常数.求ρYZ.
112π解 E（Y）=?cosx?dx=0, E(Z)= cos(x?a)dx =0,
02π2π?012π21D(Y)=E{[Y-E(Y)]2}=, cosxdx??02π212π12D(Z)=E{[Z-E(Z)]2}=, cos(x?a)dx??02π212π1Cov(Y,Z)=E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}= cosx?cos(x?a)dx?cosa,
2π?021cosacov(Y,Z)2??cosa. 因此 ρYZ=
D(Y)?D(Z)1?1222π① 当a=0时，ρYZ=1，Y=Z，存在线性关系；
② 当a=π时，ρYZ=-1，Y=-Z，存在线性关系； ③ 当a=
π3π或时，ρ
22YZ=0，这时
Y与Z不相关，但这时却有Y2+Z2=1，因此，Y与Z
不独立.
11.设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 解 联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下
X 1 ??1 0 P
Y P
XY P ??1 0 1 ??1 0 1 3 82 83 83 82 83 82 84 82 8 23
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X??1}P{Y??1}?331???P{X??1,Y??1} 888从而X与Y不是相互独立的.
12.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 解 如图，SD=
12，故（X，Y）的概率密度为
题12图
f(x,y)???2,(x,y)?D,?0,其他. E(X)???xf(x,y)dxdy??1dx1?xD0?0x2dy?13
E(X2)???x2f(x,y)dxdy??1dx?1?x2x2dy?1D006
2从而D(X)?E(X2)?[E(X)]2?16???1??3???118.
同理E(Y)?13,D(Y)?118. 而 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??1dx?1?xDD002xydy?112.所以
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?112?13?13??136. ?1从而 ?,Y)XY?Cov(X36D(X)D(Y)?1??118?12
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