概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版) 下载本文

?【解】(1)由??xlim???F(x)?1?A?1??xlim?0?F(x)?得?

xlim?0?F(x)?B??1(2) P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0?0,x?0

8.设随机变量X的概率密度为

?x,0?x?1,f(x)=??2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x). 【解】当x<0时F(x)=0

当0≤x<1时F(x)??xx??f(t)dt??0??f(t)dt??0f(t)dt ??x0tdt?x2 2

当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt

??01??f(t)dt??f(t)dt??x01f(t)dt??1x0tdt??1(2?t)dt

1x2?

2?2x?32?2?x2?2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

??0,x?0?x20?x?1故 F(x)???2,?2??x?2x?1?x?2?21,?1,x?2

9.设随机变量X的密度函数为

9

(1) f(x)=ae-?|x|,λ>0;

?(2) f(x)=?bx,0?x?1,?11?x?2, ?x2,?0,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F(x). 【解】(1) 由

????|x|?2a??f(x)dx?1知1?????aedx?2a?0e??xdx??

故 a??2

??e??x,x即密度函数为 f(x)????2?0??e?x??2x?0当x≤0时F(x)??xx???f(x)dx??e?xdx?12e?x??2 当x>0时F(x)??x0??x?x??f(x)dx????2edx??x?02e?dx

?1?12e??x 故其分布函数

?1?1e??x,x?F(x)????20

?1??2e?x,x?0(2) 由1???21??f(x)dx??10bxdx??x2dx?b112?2 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2

?x??0,其他当x≤0时F(x)=0 当0

??xdx?x20x2

当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??00dx??1x1??0xdx??1x2dx

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?31? 2x当x≥2时F(x)=1 故其分布函数为

?0,?2?x,?F(x)??2?3?1,?2x?1,?

x?00?x?1

1?x?2x?210.设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求:(1)系数A与B;

(2)X落在(-1,1)内的概率; (3)X的分布密度。

1A=1/2,B=解 ○

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2 1/2; ○3 f (x)=1/[?(1+x)] ; ○?

11.某公共汽车站从上午7时开始,每15分钟来一辆车,如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量,试求他等车少于5分钟的概率.

解 设乘客于7时过X分钟到达车站,由于X在[0,30]上服从均匀分布,即有

?1?,f(x)=?30??0,0?x?30,其他.

显然,只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时,他(或她)

等车的时间才少于5分钟,因此所求概率为 P{10<X≤15}+P{25<X≤30}=

3011dx??1030?2530dx=1/3. 15

12.设X~N(3,22),

(1) 求P{2<X≤5},P{-4<X≤10},P{|X|>2},P{X>3}; (2) 确定c使P{X>c}=P{X≤c}. 【解】(1) P(2?X?5)?P??2?3X?35?3????

22??2?1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2?

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2

11

????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P((2) c=3

X?33-3?)?1??(0)?0.5 22

13.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从?=170(cm),?=6(cm)的正态分布,即X~N(170,62),问车门高度应如何确定?

解 设车门高度为h(cm),按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X<h}≥0.99,因为X~N(170,62),故

P{X<h}=P??X?170h?170??h?170???≥0.99, ????6??6?6?查表得 ?(2.33)=0.9901>0.99.

故取

h?170=2.33,即h=184.设计车门高度为184(cm)时,可使成年男子与车门碰6头的机会不超过1%.

14.某型号电子管寿命(以小时计)近似地服从?(160,20)分布,随机的选取四只,求其中没有一只寿命小于180小时的概率(答案用标准正态分布函数表示). 解:记取出的四只电子管寿命分别为X1,X2,X3,X4,所求概率为P,则

2P?P{min(X1,X2,X3,X4)?180} ?P{Xi?180}4?[1?P{Xi?180}]4 i?1,2,3,4

?[1??(1)]4?0.00063

习 题 三

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