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【点评】本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2017?邵阳二模）已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C：
+
=1
（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆C的方程；
（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关
于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；
（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围． 【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴
+
=1，①…（1分）
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…（2分） ∴
，②…（3分）
，…
…
由①②得a=2，b=∴椭圆C的方程为
（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+…（7分）
联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0（6分）
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设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则 ∴y1+y2=﹣∴y0=﹣∴k=
，（7分） ，x0=，（9分）
，
①当m=0时，k=0；（10分） ②当m≠0时，k=∵|4m+|=4|m|+
，
≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．（11分）
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…（12分） 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
21．（12分）（2017?邵阳二模）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣中a∈R
（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间； （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．
【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+h′（x）=1﹣﹣
=
，
的定义域为（0，+∞），
，其
①当1+a≤0，即a≤﹣1时， h′（x）＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数； ②当1+a＞0，即a＞﹣1时，
x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；
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故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数； （2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]， ①当a≤﹣1时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0， 解得，a＜﹣2； ②当﹣1＜a≤0时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2； ③当0＜a≤e﹣1时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解； ④当e﹣1＜a时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（e）=e﹣a+解得，a＞综上所述，
a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（
，+∞）．
＜0， ；
【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）（2017?湖北模拟）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2
，
）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为
（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
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【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程； （2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．
【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．
∴圆C1的圆心为（1，1），半径为
，
∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2， 将∴ρ=2
sin（
代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，
）．
（θ是参数），
（2）∵圆C2的参数方程为
∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，
∵圆C1与圆C2外切，∴2
=
+|a|，解得a=±
．
【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017?邵阳二模）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|． （1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1， 故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，
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