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【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（12分）（2017?邵阳二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+）

（1）求a的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn=（1﹣an）log3（an2?an+1），求【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2

时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1），可得an=3n﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a．

的前n项和为Tn．

（2）由（1）代入可得bn=（1+3n）此

=

=（3n+1）（3n﹣2），因

．利用“裂项求和”方法即可得出．

【解答】解：（1）∵等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+）， n=1时，6a1=9+a；

n≥2时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n． ∴an=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3． ∴an=3n﹣1．

（2）bn=（1﹣an）log3（an2?an+1）=（1+3n）

=（3n+1）（3n﹣2），

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∴=．

+…+

的前n项和为Tn==

=

．

【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2017?邵阳二模）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2． 表1：男生身高频数分布表 身高（cm） 频数 [160，165） 2 [165，170） 5 [170，175） 14 [175，180） 13 [180，185） 4 [185，190） 2 表2：女生身高频数分布表 身高（cm） 频数 [150，155） 1 [155，160） 7 [160，165） 12 [165，170） 6 [170，175） 3 [175，180） 1 （1）求该校高一女生的人数；

（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；

（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则

=

，解得x．

（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=高在[165，180）的概率．

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．即估计该校学生身

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（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X的分布列与数学期望．

【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30， 则

=

，解得x=300．

因此高一女学生人数为300．

（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．

∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率=

=．

估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．

由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为． ∴P（X=0）=（X=2）=

=

．

=

，P（X=1）=

+

=

，P

∴X的分布列为： X P ∴E（X）=0+

+0 1 2 =．

【点评】本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?湘西州一模）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点． （1）求证：A1E∥平面BB1C1C；

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（2）若AC=BC=2

，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，推导出FA1∥BB1，EF∥CB，由此能证明平面A1EF∥平面BB1C1C．

（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值． 【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F， ∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1， ∵A1B1∥AB，∴FA1∥BB1，

∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥CB， ∵EF∩FA1=F，∴平面A1EF∥平面BB1C1C． 解：（2）连结CF，则CF⊥AB，

以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（∴E（

，﹣，0），

=（0，﹣1，1），

=（

，0，0），

，﹣，0），

设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z）， 则

，取y=1，得=（

，1，1），

平面ABA1的法向量=（1，0，0）， 设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ， 则cosθ=

=

=

．

∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为

．

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