忽略.A和B之间有质量和长度都不计的已压缩的弹簧. 现释放这弹簧，滑块A和B相对小车沿相反方向运动，

最后都碰到车护栏上的钉子而被钉住，试求小车在整个过程中通过的位移.

7. 质量为M、厚度可以忽略的薄板静止地置于长为L的水平桌面上，其一端A与桌的一

m 边对齐，薄板上距A端为l处 放一质量为m的木块， l M A 如图6所示.一水平恒力F作用于板上，把木板从小木 F m块下抽出，为了使木板抽出后木块m不致于从桌上掉 下地面，则F至少为多大？已知各接触面之间的摩擦系 数均为μ.

8. 如图7所示，平面σ与水平面成夹角φ，两平面的 交线为AB，在σ平面上有一个以AB为底、半径为R的固 定光滑半圆环.设环的一端A处有一个小球以初速度v0沿环 的内侧运动，若小球与环光滑接触，小球与平面σ之间的摩 擦系数为μ，试求能使小球在环的最高处继续沿环的内侧运 动的v0的取值范围.

9. 如图8所示，赛车在水平赛道上作90°转弯，其内、外车 道转弯处的半径分别为r1和r2，车和路面间的动摩擦系数和静摩 擦系数都是μ，试问竞赛中车手应选择内道还是外道转弯？在上 述的两条转弯路径中，车手的正确选择较错误选择赢得的时间是 多少？

10. 质量分别为m1和m2的两个小球，分别系于一根细绳中的一点 和一端，，细绳的另一端悬挂在固定处，已知上、下两端绳子的长度 分别为r1和r2，如图9所示.开始时两球静止，细绳处于竖直位置， 现给小球m1一个打击，使它突然在水平方向上获得一个速度，试求 小球m1获得速度前后瞬间，上、下两段绳子张力改变量的比值. 设 小球获得速度后瞬间，绳子仍处于竖直位置.

r1 m1 ● r2 m2 ● 图9

内道 外道 图8

L 图6 σ φ A 图7

B

力学守恒定律

1. 如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆环，此圆环的内外半径几乎相同，现把这圆环固定在竖直平面，一小球原来位于环中最低处，小球在拉力F作用下以匀速率v沿圆环从最低点运动到最高点，拉力F的方向始终沿圆环的切线方向，若小球与管内外壁的摩擦因数为μ，管内内壁光滑，试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中，拉力F所做的功.

P Q F

图1

5

图2

2. 如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h =2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.

3. 足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门. 设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？

4. 如图4所示，四个质量都是m 的质点，用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形ABCD，静止地放在水平光滑的桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束时刻，质点A的速度为v，其它质点也同时获得一定的速度，?BAD?2?，

?，试求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量. ??45. 如图5所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上下运动，物体正下 B

A B ● A d ● ● v C v0

● θ S0 图4

图5

12mg，现在物体

D 图3

方放置一个轻弹簧，物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是f?在距离弹簧为d 高度处由静止开始下落，试求：

（1）物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系.

（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k 的关系.

6. 如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动，以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ，求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.

7. 如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木板，A的左端与B的右端相接触，两板的质量都是M＝2kg，长度都是l=1m，C是一质量为m=1kg的小物体，现给它一初速度v0＝2m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数都是μ＝0.1，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动，取 g＝10m/s2 .

v0 C

B 图6

A B A F

图7

8. 如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢B内的右壁处，放一质量为 mA=20kg的小物块A（可视为质点）. 向右的水平力F＝120N作用于车厢B，使之从静止开始运动，测得车厢B在最初2s内移动的距离为S=5m，且在这段时间内小物块A未与车厢壁发生过碰撞. 假定车厢与地面的摩擦可忽略不计，小物块A与车厢壁的碰撞是弹性碰撞，求车厢开始运动后4s时车厢和小物块的速度.

6

l h

9. 如图8所示，长为l、线密度为λ的链条由 图示位置（底端距离地面为h）从静止开始下落，试 求链条落下过程中地面对链条的支持力.假设落到地面 处的那部分链条速度马上变为零.

10. 质量足够大的长木板从t＝0时刻开始在水平 方向上自静止出发朝右作匀加速运动，加速度大小为 a,在板上方H高度处由一静止小球，如图9所示.在t＝0时 刻小球自由落下，而后与板发生碰撞.设小球与平板接触 时的滑动摩擦系数μ＝0.1，小球反弹高度也是H，将小球 反弹离开平板时相对地面参考系的速度方向与朝右的水平

H a 图9

● 方向的夹角记为β，试求tgβ与a的关系，并作tgβ－a曲线.

11. 质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接，开始时A、B位于同一竖直线上，且离地足够远，B在A的下方l处，在给A以一水平速度v0的同时，由静止释放B，问经过多长时间后，A与B第一次恰好位于同一水平线上?

12. 在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速度v0沿与水平面成α角的方向向前跳跃，为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出，物块抛出时相对运动员的速度大小u是给定的，物块和运动员都在同一竖直平面内运动.

(1)若运动员在跳远全过程中的某一时刻t0，沿与水平向后方向成某θ角的方向抛出物块，试求运动员从起跳到落地所经历的时间.

(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿水平向后方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，那么在什么条件下可跳得更远？并求出运动员跳的最大距离. 13. 长为2l的轻绳两端各系有一质量为m的弹性小球，中点处系有质量为M的弹性小球，三球成一直线静止于光滑水平面上，绳处于伸直状态，现对小球M施加一水平冲力，使其获得与绳垂直的初速度v0，（1）试求两小球m相碰时绳中的张力T；（2）若从小球M开始运动到两小球m相碰历时为t，求在此期间小球M经过的距离SM；（3）试求当三小球再次在同一直线上时，绳子的张力；（4）试求运动过程中，小球m的最大动能和这时两段绳子的夹角.

14. 如图10所示，一柔软绳子总长 度为l，它从静止出发由高度为H的光 滑平台沿光滑的斜面滑下，全部进入光 滑水平面后，再经一半径为R的固定在

竖直平面内的光滑圆环，l>2πR，欲使

绳子能全部通过圆环，平台的高度H至少多高？

15. 质量都是m的三个小球置于光滑的水平桌面上，并用长度都为 l的轻刚性杆连接，如图11所示，整个系统以速度v沿AB方向运动，

H 图10

● R l

v α B l ●

C 图11

● A

运动方向与BC成α角，当小球C与桌上垂直AB的竖直、光滑完全非

m 弹性固定壁相碰撞时，试求此壁所受到冲量的大小. ● v0 16. 如图19所示，A是一个质量为M、半径为R的均匀 球体，O是其球心.在离球心O很远的O点附近有一质点，它 以v0的初速度沿与O’O平行的方向射向球A，以l表示质点与 O’O线的垂直距离，要使这质点能够与球A的表面相碰，试求

’

A O O? l M 图12 l的最大值.

17. 从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运

7

动，火星轨道半径Rm是地球轨道半径Re的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球的引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上. 问：

（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星，必须加速探测器，使之在地球附近

获得多大的速度（相对地球）？

（2）当探测器脱离并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60?，那么应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器刚好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日） 已知地球半径为Re?6.4?106m，重力加速度取g?9.8m/s2.

18. 利用天文望远镜作长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以作孤立系统处理. 现根据某一双星系统的光度学测量，该系统的每个星体的质量都是M，两者的距离为L，它们正在绕系统的质心做圆周运动. (1)试计算双星系统的运动周期T1.

(2)若实际上观测到运动周期为T2，且T1∶T2＝1∶N（N>1），为了解释T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假设在这两个星体连线为直径的球体内均匀发布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果，确定该星系间暗物质的密度.

振动和波动

1. 如图1所示的振动系统，轻弹簧的劲度系数为k，滑轮的质量为 M，细线与滑轮之间无摩擦，两个小物块的质量分别为m1和m2，m1> m2， 试求滑轮的振动周期.

2. 如图2所示，物体的质量为m，用弹簧悬挂吊于水平轻杆上，

杆的一端与光滑铰链相连，另一端用弹簧悬挂，已知k1、k2、m及尺寸a、 b，试求物体m的振动周期.

O

3. 如图3所示，质量为m的小球C由细绳AC和BC共同悬挂，已知AC＝l， BC＝2l，∠ACO＝∠BCO＝30o,试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期. 4. 半径为R的轻圆环上固定两个质相同的小重物，在环上与两个 小重物距离相等的O处钻一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把 O 图4

v0 图2 a b k1 k2 A l C 图3 O m1 B 2l

O m

● ● k M m2

图1

αα R

● B 8

A