∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．

1＝5； 23BD＝AB·sin60°＝10×＝53．

2∴AD＝AB·cos60°＝10×又∵CD＝CA+AD＝10，

BD2?CD2?57，

BD21?∴sin?BCD?． BC721 同理，可求得sin?ABC?．

1421213??． ∴sin?ABCgsin?BCD?71414∴BC?【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般

可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．

举一反三：

【变式】如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了

个单位，到达B点后观察到原点O在它的

南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为__________.(结果保留根号)．

【答案】

类型三、解直角三角形及应用

【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例3】

4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．

【思路点拨】

由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得BD?33．由2于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而【答案与解析】

33?BC?33，所以此题有两解． 2解：作BD⊥AC于D．

(1)C1点在AD的延长线上．

在△ABC1中，BC1?3，BD?∴sinC1?33， 23． 2∴∠C1＝60°．

由勾股定理，可分别求得DC1?∴AC1＝AD+DC1＝

39，AD?． 2293??6． 22(2)C2点在AD上．

由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，

C2D?C1D?3． 2∴∠BC2A＝120°，AC2?93??3． 22 综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3． 【总结升华】

由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．

【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例4】

5．（2015?茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路． （1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）

（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

【思路点拨】

（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；

（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数． 【答案与解析】 解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D， 在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC?cos∠CAD=20×在Rt△BCD中，BD=

=

=10（千米），

=10

（千米），

∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米）， 则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）； （2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=

=10（千米），

∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），

则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．

【总结升华】

解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：

举一反三：

【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．

(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A，B两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．

(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：

①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；

②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?

________________________________________________________. 【答案】

解：(1)设CD的延长线交MN于E点，MN长为x m，则ME＝(x-1.6)m．

∵β＝45°，

∴DE＝ME＝x-1.6．

∴CE＝x-1.6+18.6＝x+17．

ME?tan??tan35°， CEx?1.6 ∴?0.7，解得x＝45．

x?17 ∵

∴太子灵踪塔MN的高度为45m．

(2)①测角仪、皮尺；

②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．

6．（2015?锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

【思路点拨】

过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在Rt△BDP中求出PB即可． 【答案与解析】

解：过B作BD⊥AP于D，

由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°， 在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30， ∴BD=AB=20，

在Rt△BDP中，∵∠P=45°， ∴PB=BD=20≈28.3（海里）．

答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．