（1）求证：△ABC为直角三角形；

（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？

（3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点，使△BCE的面积最大？” ．．．．．．．．E．．．．．．．．．．．．小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大．”

她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积．

13

答案：解: （1）对于y=－2 x2＋2 x＋2

13

当y=0时, －2 x2＋2 x＋2=0，解得x1=－1, x2=4; 当x=0时, y=2

∴A、B、C三点的坐标分别为

C A（－1,0）,B（4,0）,C（0,2）

A O

E C F A O D B E F D B

∴OA=1,OB=4,OC=2， ∴AB=OA+OB=5，∴AB2=25 在Rt△AOC中,AC2=OA2+OC2=12+22=5 在Rt△COB中,BC2=OC2+OB2=22+42=20 ∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．

（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m,∴OD= m, DE⊥OB.

DFBD

∵OC⊥AB，∴OC∥DE，∴△BDE∽△BOC， ∴OC =BO ∵OC=2,OB=4,BD=OB－OD=4－m,∴DF=

BD?OC2?4?m?1??2?m. BO42当EF=DF时，DE=2DF=4－m,∴E点的坐标为（m, 4－m） 1313

∵E点在抛物线y=－2 x2＋2 x＋2上，∴4－m=－2 m 2＋2 m＋2

解得m1=1，m2=4. ∵0＜m＜4，∴m=4舍去， ∴当m=1时，EF=DF

（3）解：小红同学的观点是错误的

13

∵OD= m, DE⊥OB， E点在抛物线y=－2 x2＋2 x＋2上 13

∴E点的坐标可表示为（m, －2 m 2＋2 m＋2）

1311∴DE=－2 m 2＋2 m＋2.∵DF=2－2 m，∴EF=DE－DF=－2 m 2＋2m 111

∵S△BCE=S△CEF+S△BEF=2 EF·OD+2 EF·BD=2 EF·（OD+BD）

11

=2 EF·OB=2 EF·4=2EF

∴S△BCE=－m 2＋4m=－（m2－4 m+4－4）=－（m－2）2+4

∴当m=2时, S△BCE有最大值,△BCE的最大面积为4;） 13∵当m=2时,－2 m 2＋2 m＋2=3，∴E点的坐标为（2, 3）

13325

而抛物线y=－2 x2＋2 x＋2的顶点坐标为（2 ,8 ），∴小红同学的观点是错误的

27、（09黄陂一中分配生素质测试）

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，2)，O为坐标原点。设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切. 已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过O、P、A三点. （1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；

（3）若点N在抛物线上，问x轴上是否存在点M，使得以M为圆心的⊙M能与

?PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切，若存在，请求出M点的坐标；若不存

在，请说明理由.

答案：解：（1）?O(0，0)，P(1，3)，A(4，0)，

?c?0?a??1??在抛物线y?ax2?bx?c(a?0)上，??a?b?3，即?b?4，

?16a?4b?0?c?0??所以抛物线的解析式为：y??x2?4x ???? 2分

（2）连结AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，

∵P是⊙P的对称中心 ，∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积

设PQ的解析式为y?kx?b，?P(1，3)、Q(2，1) ?????? 4分

???k?b?3?k??2，??，所以PQ解析式为y??2x?5 ???? 5分

2k?b?1b?5?? （利用其它直线割补平分面积，求得直线的解析式的参照给分） （3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与?PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，

则有如下两种情形：

① 当⊙M与?PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是?PAN的内心.

?M在x轴上，?x轴为?PAN的平分线，

CyPBQHOT?P(1，3)关于x轴的对称点G(1，?3)在AN上，

RMA所以AN的解析式为：y?x?4，

G

N