傅立叶变换算法
???F1(?,?)F2(?,?)????F(?,?)F(?,?)??2?1?
PC(u,v)?f?1 ?F?1ej2?(?x0??y0)??
??(u?x0,v?y0) (2-13) 里面，F?1???是傅立叶变换；F2?(?,?)是F2(?,?)的共轭。
用式2-13对互功率谱进行反傅里叶变换，变换后得到一个二维冲击函数PC(u,v)。在理想的状况下，这个函数在(x0,y0)处会产生一个函数值是1的相关峰，在其余点的函数值几乎趋近于零，它的峰值所在的那个点就是图像配准的平移量x0,y0。这就是用相位相关算法求图像配准的平移量的主要步骤。
2.4 频域配准算法
所谓频域配准算法就是指把在空间域中的所有数据进行时域变换，将时域中的数据全都转换成频域中的数据，下一步通过相似性度量来确定两幅图像之间的配准参数。一般用的时域变换是傅立叶变换，相位相关度量就是最常用的相似性度量。
在现在许多已有的配准算法之中，频域配准技术获得了广泛的应用。这种方法是通过使用空域相关法求出粗配准的相关点，然后利用频域相关性对图像旋转敏感的特点，通过傅立叶变换具有平移不变的特性，图像配准是不会显示图像的旋转和平移的效果的，图像配准后的旋转变换才能被看出区别。把其中一幅图像的频谱以其中心为原点旋转?角后再减去另一幅图像的频谱相，可以算出的数据是D(?)，所要校准的旋转角就是D的最小值所对应的?角。
比较其它许多的空间域，频域算法具有以下一些明显的特点：第一，频域法对图像的亮度变化不敏感；第二，频域法有很多的作用例如两幅待配准图像之间的旋转变换、平移变换、缩放比例变换等图像配准问题，还可以求出子像素的配准精度。所以频域配准方法符合基于傅立叶梅林变换的图像配准要求：配准两幅存在平移、缩放、旋转灰度值差别的图像。当通过频域配准来处理空域的算法时，可以加快运算速度，减少运算时间。所以对频域配准算法的研究，是图像配准中的一个不可或缺的技术。
2.5 图像边缘特征的提取
2.5.1 边缘检测
一些基本的要素组成了一幅图像，其中有一个特征就是边缘，特征的定义就是在图像中的有不同灰度的两个均匀区域的边缘，可以用边缘检测来清晰地看到灰度的明显变化。
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可以用强度、位置、法线方向或者是切线方向来表示边缘。在一幅图像当中信息最为丰富的区域就是图像的边缘部分，并且这部分边缘并不会因为图像发生几何变换而失去此部分或者发生变化，所以在图像配准的过程中边缘检测是非常中要的一个步骤会影响配准的最终效果，任何外界因素导致的图像发生变化都不会改变边缘的主要信息。
什么是边缘，当灰度不连续时就会产生边缘，边缘就是配准图像中的灰度级发生了明显的变化。直至今天，对边缘检测有多种多样的解释，其中用的比较多的一种定义是边缘检测的实际就是通过图像的灰度变化程度来叙述图像中灰度变化的过程。在图像的配准过程中也许是图像的几何变换亦或者是光学变化都有可能会导致图像灰度的不连续性，从而产生边缘。关于几何方面，有以下几点原因：颜色不同、表面取向、深度的不连续性、纹路的不同等。关于光学方面：例如表面发生反射、有其它物体产生的阴影影响或是物体本身的倒影等。当以上这些不确定因素混合在一起就会导致配准变得异常困难。并且，在现实情况下噪声通常会把图像数据给毁坏掉。所以边缘检测主要有两个目的：一个是需要用边缘检测的方法来检测到图像边缘的准确位置，另一个是要用边缘检测来去除掉无关因素的影响和噪声。只是边缘检测的主要目的是用来探测灰度级的变化，所以现在都是用微分法来确定边缘位置。边缘检测各种各样种类繁多下面列举几个算子：robart、prawitt、
sobel、laplace等，虽然算子众多但是目前还是以局域窗口为主，下面来介绍一下:
(1)Robert梯度算子 Robert梯度算子的定义是：
??g????g? Gr?g(x,y)????u???u? (2-14)
?g???gv???v?上式中，gu是g的在45度方向上的导数；gv是g的在135度方向上的导数。可以很轻易的得到Gr?g(x,y)?的模是：
221/2 Gr?g(x,y)??(gu?gv) (2-15)
如果用差分近似来表示导数，那么可以得出以下式子： Gi,j?(gi?1?gi,j)2?(gi,j?1?gi?1,j)2??1/2 (2-16)
为了计算更加简便，可以用差分绝对值的和来更进一步的得到近似式子：
Gi,j?gi?1?gj?1?gi,j?1?gi?1,j (2-17) 对于边缘检测的计算，还可以使用方向差分算子来进行边缘检测。 （2）拉普拉斯（laplace）算子
以下是对拉普拉斯（laplace）算子的定义：
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?2g?2g?g?2?2 (2-18)
?x?y2将g(x,y)通过傅立叶变换变成G（u,v），那么?2g通过傅立叶变化有以下式子： ?(2?)2u2?v2G?u,v? (2-19) Laplace算子的本质是一个高通滤波器。以下是Laplace算子：
?2gi,j?(gi?1,j?gi,j)?(gi,j?gi?1,j)?(gi,j?1?gi,j)?(gi,j?gi,j?i)?gi?1,j?gi?1,j?gi,j?1?gi,j?1?4gi,j?? (2-20)
一般情况下，把2-20变为相反数，那么Laplace算子就可以变为原灰度函数和矩阵
0?10?14?10?1的卷积。 0通过以上卷积后，把边缘点定位通过0的点，所以又叫做零交叉点。
Laplace算子是一种导数算子，经过旋转后性质不发生改变。但是如果这个算子用在数字图像上，那么Laplace算子只能近似求出结果。所以到这个时候根本不可能将各向同性的性质相吻合，只是对一些不同向的边缘处理有一些细微的不同。在形成Laplace差分算子的过程中，如果想要得到两个相对称的领域，那么就需要将前向差分和后向差分配合着使用。
由于拉普拉斯算子会受噪声的影响，所以对数字图像的处理并没有太大用处。最近几年，许多研究工作者都在想尽办法找出提取受噪声劣化图像边缘的方法。经过研究学者们也提出了许多方法。在这之中当以Canny提出的最佳边缘检测算子最为普及并且成为了业界其它实验的唯一标准。Canny算子其实是一种边
缘检测,是一种相当不错的边缘检测，在许多图像处理中都在及其广泛的运用此算子。 （3）Canny算子
首先二维Canny算子需要将图像用高斯滤波器使图像平滑；其次要用到差分模版来求图像的梯度值和大概方向；然后在上一步的基础上得到局部最大值点，采用双门线方法除掉噪声并且保留下边缘点；最后一步是要用曲线将边缘点连贯的连接起来。以下是算法解释：
假设I[I,j]用来表示图像，将高斯平滑滤波器和图像卷积后会形成平滑图像： S?i,j??G?i,j,???I?i,j? (2-21) 上式中卷积符号用?表示，高斯函数参数用?表示，?被用来控制S[i,j]的梯度，可以用以下公式来计算：
P?i,j???S?i,j?1??S?i,j??S?i?1,j?1??S?i?1,j??/2 (2-22)
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Q?i,j???S?i,j??S?i?1,j??S?i,j?1??S?i?1,j?1??/2 (2-23) 需要将坐标系从直角转化为极坐标系才能够精确计算出图像的幅度值和旋转方向角：
22M?i,j??p?i,j??Q?i,j? (2-24)
?Q?i,j?/P?i,j?? (2-25) ??i,j??arctan细化后的梯度值就是抑制住不是极大值，M值和梯度值的关系是密不可分的，所以M值的大小会直接影响梯度值，M值的大小和梯度值的大小是成正比的，想得到边缘在什么地方仅仅是如此还不够，只有细化幅值图像中的屋脊带才能确定边缘的所在位置，细化屋脊带过后就可以看到细化的边缘。
非极大抑制就是抑制M(i,j)中的梯度幅值屋脊带。此算法最重要的一点就是一定要把梯度角Q(i,j)缩小到如下：
?321??0x0? ????123??
假设Q(i,j)经过处理后得到e(i,j)，此扇区是用0到3来组成这个扇区，在0到3组成的扇区通过变换就形成了4种组合与此扇区中的元素相对应，所以
只要有一个点通过此扇区得到中心点就一定会经过扇区。幅值阵列M(i,j)中的所有点都能放在3*3的模版中，细化到每一个点，把中心像素点与梯度线上的像素点进行详细的比较，在领域中靠近中心点的扇区值e(i,j)把这些值连起来构成一条线，假设领域中心点幅值M(i,j)比梯度线上邻近的至少两个幅值点小，可以说明幅值M(i,j)就是0。通过以上处理方式细化了宽屋脊带让它成为只有一个像素点大小的宽度。
双阈值算法被用于阈值?1和?2，并且?1和?2是近似的从而可以分别得到它们的阈值边缘图像T1?i,j?和T2?i,j?。T2?i,j?得到的多为真边缘，因为T2是通过高阈值得出的，但是它不是连续的。双阈值法的主要作用是将T2?i,j?的边缘连接起来使之闭合，当到达轮廓的一端时，算法主动寻找T1?i,j?的8邻点位置上可以连接整个轮廓边缘的点，此时，算法自动搜集边缘点，一直到将整个T2?i,j?连接完成。
Canny算子其实就是：第一步要对待配准的图像使用高通滤波器进行平滑滤波，然后利用上述“非极值抑制”方法，对经过平滑滤波后的图像进行处理，通过以上处理步骤后得到边缘图像。在许多边缘检测算子当中，对检测后的结果需要有一个衡量标准。边缘检测的评价一般有两种方法：其中有一种叫作边缘局部相关性法是Kitchen提出来的。这种方法能够检测边缘的连接效果，但是不会确定检测的正确性以及边缘的偏移，对于噪声较少的图像检测出来的结果较为准确，但是需要一张标准的边缘图作为参考，标准的边缘参考图在实际应用中不易获得。除此之外，这种方法不会考虑连接效果的好与坏，无法准确描述断边还是不断边。因此，Cenny提出一种方法就是将边缘检测的处理转化为函数极大
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