P(B1)=0.5 ，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(A|B1)?0 .9 ，P(A|B2)?0 .8 ,P(A|B3)?0.7

所以 P（A）??P?Bi?P?ABi??0.83。

i?133. 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为B型，7.9 %为 AB型，33.7 %为 O型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？

输血者 A型 受血者 B型 × √ √ × AB型 √ √ √ × O型 √ √ √ √ A型 B型 AB型 O型 √ × × √ 解 设A=｛输血成功｝ Bi,i=1,2,3,4分别表示A,B,AB,O型血型

则P(B1)=0.375 P(B2)=0.209 P(B3)=0.079 P(B4)=0.337

P(A|B1)= P(B1)+P(B4)=0.712

P(A|B3)=0.663， P(A|B4)=1 同理可求出 P(A|B2)=0.288，则 P（A）=?P(B)?P(AB)i=1ii40.717。

4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 B=｛从人群中任取一人是男性｝， A=｛色盲患者｝

?PB?0.5 P(A|B) ?5% ， P(A|B) ?0.25% 因为 P（B）?? P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625 所以 P(B|A) ?P(B)P(A|B)0.5?0.0520??。

P(A)0.02625215. 某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率。

56

解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”

P（A）?25% P（B）?35% P（C）?45%

P（D|A）?5% P（D|B）?4% P（D|C）?2%

P?AD??P?A?P?DA?P?D?

25?5?25

25?5?35?4?40?269=

P?A?P?DA??P?B?P?DB??P?C?P?DC?P?A?P?DA?=

同理 P（B|D）=28 ； P（C|D）=16。

69696. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q.

解 设Ai?\抽取的学生是i班的\, i?1,2,3, Bj?\第j次抽到未献血的\, j?1,2,1121则 P(Ai)?, i?1,2,3. P(B1|A1)?, P(B1|A2)?, P(B1|A3)?,3455133443(??)?.345560i?11211241(2) P(B2|A1)?, P(B2|A2)?, P(B2|A3)?, P(B1B2|A1)???,45516155151012051 P(B1B2|A2)???, P(B1B2|A3)???,2524425246 (1) p?P(B1)??P(Ai)P(Bi|Ai)?3111137P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(??)?.

3546180i?1112117 P(B2)??P(Ai)P(B2|Ai)?(??)?.

345560i?133

所以 q?P(B1|B2)?P(B1B2)37?。

P(B2)51

§1.6 事件的独立性

三、计算下列各题

57

1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。

解 A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

P（A）?0.2

P｛三灯泡中最多有一个坏｝=P｛三个全好｝+P｛只有一个坏｝

32= C3(0.2)3+C3(0.2)2(1–0.2)=0.104。

2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为的命中率。

80, 求该射手81802?1?解 ?1?P(命中 0 次）?1?（1?p)4, (1?p)4????p?。

813?3?3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？

解 设需要配置n门高射炮

A=“高炮击中飞机”， 则 P（A）?0.6

P｛飞机被击中｝=P｛n门高射炮中至少有一门击中｝

4 =1–P｛n门高射炮全不命中｝ 1?(1?P|A|)n?1?0.4n?99% ?0.4n?0.01?n? 至少配备6门炮。

4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。

解 设A=｛目标一次射击中被击毁｝Bi=｛目标被击中的发数｝，（i?0，1，2，3，）

则P(B0)?0.8?0.7?0.5?0.28

P(B1)=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47

lg0?01?5?026 lg0?4P(B2)=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 P(B3)=0.2×0.3×0.5=0.03

P(A|B0)?0 P(A|B1)?0.2 P(A|B2)?0 .6 P(A|B3)?0.9

58

所以 P(A)??P?Bi?P?ABi??0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。

i?035. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.

解 A=“正好在第6次后停止”，B=“第5次也正面朝上”.

11311?()??P(AB)2222?0.4 P(B|A)??111P(A)C52?()2?()3?2221C4?四、证明题

设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1, 证明,P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件。

于和1，证 因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等0

P(AB)PAB()?P(A)P(A) ?[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)]

P(B|A)?PB(A|?) ?P(AB)?P(A)P(B),即A和B独立. 59