所以|AM|＝|MN|，所以2x1＝x2＋4.③ 4＋16k2

由①③消去x2得x1＝.④

3＋4k2

64k2－12

将x2＝2x1－4代入②，得x1(2x1－4)＝，⑤

3＋4k2将④代入到⑤式，整理化简得36k2＝5， 5

所以k＝±，经检验满足题设．

65

故直线l的方程为y＝±(x－4)．

6

1. （2018年天津卷）设椭圆坐标为，且.

(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的

（I）求椭圆的方程； （II）设直线l：(O为原点) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若

【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，由

，可得ab=6，从而a=3，b=2．

．

， ，，

所以，椭圆的方程为（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故

．

又因为，而∠OAB=，故．

由，可得5y1=9y2．

由方程组消去x，可得．

易知直线AB的方程为x+y–2=0， 由方程组

消去x，可得， ，

． 中，椭圆C过点

，焦点

，圆O的

．

由5y1=9y2，可得5（k+1）=两边平方，整理得解得，或所以，k的值为或2. （2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系直径为

．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于

两点．若

的面积为

，求直线l的方程．

，

【答案】（1）椭圆C的方程为（2）①点P的坐标为

；圆O的方程为

；②直线l的方程为

【解析】（1）因为椭圆C的焦点为

可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，

所以，解得

因此，椭圆C的方程为因为圆O的直径为

．

． ，则

，

，所以其方程为

（2）①设直线l与圆O相切于

所以直线l的方程为，即．

由，消去y，得

．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以因为

，所以

．

，所以

，从而

．

．

．

因此，点P的坐标为

②因为三角形OAB的面积为设

，

由（*）得，

所以

．

因为，

所以，即，

解得舍去），则，因此P的坐标为．

综上，直线l的方程为．

3.（2018年全国I卷理数）设椭圆（1）当与轴垂直时，求直线（2）设为坐标原点，证明：【答案】(1) AM的方程为(2)证明见解析. 【解析】 （1）由已知得，l的方程为x=1.

或或. 或的方程；

的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. .

. 由已知可得，点A的坐标为所以AM的方程为（2）当l与x轴重合时，

. .

. ，

，

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

则，直线MA，MB的斜率之和为.

由得

.

将代入得

.