2020届二轮复习 圆锥曲线的综合应用 教案（全国通用）

高频考点一 圆锥曲线中的最值、范围

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

(1)求p的值；

(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

x2y23

【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线

ab223

AF的斜率为，O为坐标原点．学-科网

3(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 223

解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝3.

c3c3

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. a2x22

故E的方程为＋y＝1.

4

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． x22

将y＝kx－2代入＋y＝1，

4得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)＞0， 即k2＞

8k±2 4k2－33

时，x1，2＝. 44k2＋1

k2＋1|x1－x2|＝

4k2＋1·4k2－3

从而|PQ|＝.

4k2＋12

又点O到直线PQ的距离d＝2 .

k＋14 4k2－31

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.

24k2＋14t4

设4k2－3＝t，则t＞0，S△OPQ＝2＝. 4t＋4

t＋t

47

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0.

t2所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝高频考点二 定点、定值问题探究

1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．

2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． x2y23

例2、已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.

ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

[来源:]77

x－2或y＝－x－2. 22

?a＝2，??

(1)解：由题意得?1解得?b＝1，

ab＝1，2?

?a＝b＋c，?c＝3.

2

2

2

c3＝，a2

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4 (2)证明：由(1)知A(2，0)，B(0，1)．

2

设P(x0，y0)，则x20＋4y0＝4.

当x0≠0时，

y0直线PA的方程为y＝(x－2)．

x0－22y0

令x＝0，得yM＝－，

x0－22y0

从而|BM|＝|1－yM|＝?1＋x－2?.

??0y0－1

直线PB的方程为y＝x＋1.

x0x0

令y＝0得xN＝－，

y0－1x0

从而|AN|＝|2－xN|＝?2＋y－1?.

??0所以|AN|·|BM|

x0?1＋2y0? ＝?2＋y－1?·

???x0－2?0

2＋4y2＋4xy－4x－8y＋4x000000?? ＝??x0y0－x0－2y0＋2??

＝?

?4x0y0－4x0－8y0＋8?＝4.

?

?x0y0－x0－2y0＋2?

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4.

综上可知，|AN|·|BM|为定值． 【方法规律】

1．求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．

2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．

x2y22【变式探究】如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.

ab2

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

c2

(1)解：由题设知＝，b＝1，

a2结合a2＝b2＋c2，解得a＝2， x22

所以椭圆的方程为＋y＝1.

2

x22

(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，

2得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，

4k（k－1）2k（k－2）

则x1＋x2＝，xx＝， 12

1＋2k21＋2k2从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝

y1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－k11?x1＋x2

＋＝2k＋(2－k)＋＝＋＝2k＋(2－k)?＝2k＋(2－?x1x2?x1x2x1x2x1x2

4k（k－1）

k)＝2k－2(k－1)＝2. 2k（k－2）故kAP＋kAQ为定值2.

x2y24

例3、已知焦距为22的椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P

ab3在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形． (1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.

若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．