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1.2.1 绝对值不等式
一、选择题
1.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( ) A.1 C.3
解析 利用三角不等式直接求解.
∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. 答案 C
2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A.5或8 C.－1或－4
B.－1或5 D.－4或8 B.2 D.4
解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a. (1)当－1≤－，即a≤2时，
2
a?a?－x－a＋1，－1 a3x＋a＋1，x≥－.??2 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3. 22所以a＝－4. (2)当－1>－，即a>2时， 2 －3x－a－1，x≤－1， aaa??af(x)＝? x＋a－1，－ 2 ??3x＋a＋1，x≥－1. －3x－a－1，x≤－，2 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，故a＝8.综上a＝－4或8. 22答案 D aaax1 3.如果存在实数x，使cos α＝＋成立，那么实数x的集合是( ) 22x1 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. A.{－1，1} C.{x|x>0，或x＝－1} B.{x|x<0，或x＝1} D.{x|x≤－1，或x≥1} ?x1?解析 由|cos α|≤1，所以?＋?≤1. ?22x? 1?x1?|x| 又?＋?＝＋≥1. ?22x?22|x|∴ |x|1＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1. 22|x| 答案 A 4.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|＜|b－c|，则( ) A.ad＝bc C.ad>bc 解析 ∴a＋d＝b＋c， ∴a＋2ad＋d＝b＋2bc＋c， 2 2 2 2 B.ad D.ad与bc大小不定 a2＋d2－b2－c2＝2bc－2ad， ∵|a－d|<|b－c|， ∴a－2ad＋d 2 2 2 2 a2＋d2－b2－c2<2ad－2bc， ∴3bc－2ad<2ad－2bc， 即ad>bc. 答案 C 5.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0； 1 ②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|. 2 若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)| 1B. 41D. 8 解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 11 取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，即|f(x)| 221 取y＝1则|f(x)－f(1)|<|x－1|， 2 111111