呼和浩特卓越家教 我们的努力只为你的成长

第一 讲 分类数图形

［知识要点］

我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规律，从而有秩序、有条紊并且正确地数出图形的个数。

［范例解析］

例1 下面图形中有多少个正方形？

［思路导航］

图中的正方形的个数中可以分类数，如□的正方形有6×3＝18个，如？的正方形有5×2＝10个，如？的正方形有4×1＝4个。因此图中共有18＋10＋4＝32（个）正方形。

解： 6×3＋5×2＋4×1＝32（个） 答：图中有32个正方形。

例2 下图中共有多少个三角形？

［思路导航］

为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形。

（2）由两个小三角形组合的三角形有3个。 （3）由三个小三角形组合的三角形有6个。 （4）由六个小三角形组合的三角形有1个。 图中共有6＋3＋6＋1＝16（个）三角形 解： 6＋3＋6＋1＝16（个）三角形。

例3 数出下图中所有三角形的个数。

［思路导航］

和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形状的三角形有5个；和三角形ACD一样形状的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个；共有35个三角形。

解： 5＋10＋5＋5＋5＋5＝35（个） 答：共有35个三角形。

例4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？

［思路导航］

把相邻的两点连接起来可以得到下面的图形（图a），从图中可以看出： （1）最小的正方形有6个。

（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个。

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（3）中间还可围成2个正方形。

解： 6＋2＋2＝10（个） 答：共有10个。

例5 数一数，下图中共有多少个三角形。

［思路导航］

我们可以分类来数。

（1）单一的小三角形有16个。 （2）两个小三角形组合的有10个。 （3）四个小三角形组合的有8个。 （4）八个小三角形组合的有2个。

所以，图中一共有16＋10＋8＋2＝36（个）三角形。 解： 16＋10＋8＋2＝36（个） 答：图中共有36个三角形。

［习题精选］

1、下图中共有多少个正方形？ 2、下图中共有多少个正方形？

3、下图中共有多少个正方形？多少个三角形？ 4、下图中共有多少个三角形？

5、数一数，图中共有多少个三角形。 6、数一数，图中共有多少个三角形。 7、数出下面图形中分别有多少个三角形。

8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形。一共能围成多少个长方形？ 9、下图中共有6个点，连接其中的三个点围成一个三角形。一共能围成多少个三角形？ 10、下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形。一共能围成多少个梯形？ 11、下图中共有多少个三角形？ 12、图中共有多少个三角形？ 13、下图中共有多少个正方形？

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第二讲 平均数问题（一）

［知识要点］

把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。

如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数＝总数量÷总份数 总数量＝平均数×总份数 总份数＝总数量÷平均数

［范例解析］

例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。苹果和桃平均每箱37个。求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？ ［思路导航］

1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子＝42×3＝126（个） 1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子＝36×3＝108（个） 1箱苹果＋1箱桃＝37×2＝74（个） 由？？两个等式可知：

一箱苹果比一箱桃多126－108＝18（个），再根据等式？就可以算出，一箱桃有（74－18）÷2＝28（个），一箱苹果有28＋18＝46（个）。

解： 一箱苹果和一箱桃共有的个数：37×2＝74（个）

一箱苹果比一箱桃多的个数：42×3－36×3＝18（个） 一箱桃的个数：（74－18）÷2＝28（个） 一箱苹果的个数：28＋18＝46（个） 答：一箱苹果46个，一箱桃28个。

例2 一次数学测验，全班平均分是91分，已知女生有21人，平均每人93分，男生平均每人90分，求这个班男生有多少？ ［思路导航］

女生每人比全班平均分高93－91＝2（分），而男生每人比全班平均分低91－90＝1（分）。全体女生高出全班平均分2×21＝42（分）。应补给每个男生1分，42里包含有42个1，即全班有42个男生。

解： （93－91）×21＝42（分） 42÷（91－90）＝42（人） 答：这个班男生有42人。

例3 五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？ ［思路导航］

原来五个数的和是，18×5＝90，改动以后五人数的和是16×5＝80，80比90少10，这10是把那个数改为6后少掉的，因此，这个改动的数原来是6＋10＝16。

解： 18×5－16×5＝10 6＋10＝16

答：这个改动的数原来是16。

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例4 一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分。问这位同学一共考了多少门功课？ ［思路导航］

100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，使其它平均分94分变成95分。每门填补95－94＝1（分），5里面有5个1，所以其它有5门功课，连数学在内一共考了5＋1＝6（门）功课。

解： （100－95）÷（95－94）＝5（门） 5＋1＝6（门）

答：这位同学一共考了6门功课。

例5 把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？ ［思路导航］

先求出五个数的和：38×5＝190。再求出前三个数的和：27×3＝81，后三个数的和：48×3＝144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必须比190多，而多出的部分就是所求的中间一个数。

解： 27×3＋48×3－38×5＝35 答：中间一个数是35。 ［习题精选］

1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分。乙、丙、丁三人平均分89分。甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？

2、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？

3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？

4、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？

5、有两块棉田，平均每公亩产量是92.5千克，已知一块地是5公亩，平均每公亩产量是是101.5千克，另一块田平均每公亩产量是85千克。这块田是多少公亩？

6、把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元。已知甲级糖有4千克，平均每千克8元，乙级糖有2千克，平均每千克多少元？

7、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？

8、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？

9、小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？

10、老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了35朵。如果师生合起来算，正好平均每人做37朵，求有多少同学在做花？

11、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成线达到92.5分，小时要连续考多少次满分？

12、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的

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